А не пробовали расширить доску до размера 12*12 и разбить ее на квадраты 3*3 в центре которых находится по королю?

Нужно именно 10*10

Так виртуальное расширение доски не меняет решения.
Можно по другому: Разделить доску 9*9 квадратами 3*3, а в оставшиеся две полоски по 1 клетке (вертикальную и горизонтальную) расставить королей. Количество королей останется тем же, что и при доске 12*12.
Ну если без остатка разделите доску 10*10 квадратами 3*3... тогда только порадуюсь за вас.
У меня нет математического образования, но у меня есть логика.

Просто так разделить не получиться, королей ведь можно ставить только на белые клетки

Суть решения не меняется.
На доске 10*10 можно максимально разместить 8 квадратов 3*3 с белой клеткой по середине (где находится король, который бьет по 5 белых клеток). Всего на доске белых клеток 50, а 8 квадратами мы заняли 8*5=40 белых клеток. Остается незанятых 50-40=10 белых клеток. Получается, что для остальных король может бить только по 3 белые клетки. Итого 10/3=3 (1 остатке).
Всего 8+3+1=12 королей.

Но разве существует пример на 12 королей?

А каков ход решения у вас?

Задачка прикольная - все-таки решил.
Ну, не хотите сообщать ваш ход решения - я не буду сообщать свой ход решения.

Один из вариантов.