Здравствуйте, shinghalova!

Вычислим НОД(f(x), g(x)), используя алгоритм Евклида. Сначала вычислим остаток r₁(x) от деления многочлена f(x) на g(x) (так как deg f(x)>deg g(x), то в качестве делимого берём f(x)). Если r₁(x)[$8800$]0(x), то делим g(x) с остатком на r₁(x) и получаем r₂(x) и так до тех пор, пока при делении ненулевого остатка r_k(x) на ненулевой остаток r_k+1(x) не получим нулевой остаток. Тогда в качестве НОД(f(x), g(x)) можно взять последний ненулевой остаток r_k+1(x). При выполнении последовательных делений с остатком для удобства вычислений промежуточные делимые можно умножать на ненулевые элементы из поля P (в данном случае, надо полагать, поля вещественных чисел).

Итак, делим f(x) на g(x) с остатком. Получим (x⁴+x³-3x²-4x-1):(x³+x²-x-1)=x (остаток r₁=-2x²-3x-1).

Умножим g(x) на 2, а r₁(x) на -1 и выполним деление первого многочлена на второй. Получим (2x³+2x²-2x-2):(2x²+3x+1)=x (остаток r₂=-x²-3x-2).

Выполним деление -r₁(x) на -2r₂(x)). Получим (2x²+3x+1):(2x²+6x+4)=1 (остаток r₃=-3x-3).

Выполним деление -6r₂(x) на -2r₃(x). Получим (6x²+18x+12):(6x+6)=x+2 (остаток r₄(x)=0).

Следовательно, за искомый НОД можно принять r₃(x)=-3x-3 или, умножив его на -1/3, принять НОД(f(x), g(x))=x+1, что удобнее.

Здравствуйте, shinghalova!
Решение в прикрепленном файле.