Здравствуйте, tanya.hryanina!

Рассмотрим первое задание. Пусть в трёхмерном пространстве в некотором фиксированном базисе матрица
порядка определяет линейный оператор. Построим в пространстве жорданов базис этого оператора. Воспользуемся алгоритмом, изложенным на с. 223 -- 226 [1].

Вычислим сначала характеристический многочлен

Он имеет один корень кратности

Составим матрицу и будем возводить её в степени пока не получится равенство При

При

При

Следовательно, в пространстве жордановы цепочки имеют максимальную длину

Определим подпространство собственных векторов матрицы по Рассмотрим для этого систему то есть

Одну из фундаментальных систем решений этой системы уравнений образует вектор Поэтому

Определим пересечение где -- пространство столбцов матрицы Пространство порождается вектором поскольку Поэтому -- собственный вектор, с которого начинается цепочка длины Присоединённые векторы

определим из систем то есть из систем


Решениями этих систем, например, являются


следовательно,


Рассмотрим подпространство где -- подпространство столбцов матрицы Так как то порождается двумя его линейно независимыми столбцами

Следовательно,

Подпространство совпало с уже рассмотренным подпространством При этом и В итоге построен жорданов базис

В этом базисе матрица имеет жорданову форму

а матрицей, трансформирующей в является

составленная из координат векторов построенного жорданова базиса.

При этом


как и должно быть, согласно [2, с. 185].

Литература
1. Шевцов Г. С. Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты. -- М.: Финансы и статистика, 2003. -- 576 с.
2. Сборник задач по алгебре и аналитической геометрии / А. А. Бурдун и др. -- Минск: Университетское, 1989. -- 286 с.