Я удалил свой ответ. Извините за поспешность!

Ничего страшного.

Прошу восстановить, если можно, мой ошибочно удалённый мной ответ.

Я вспомнил, что степень с рациональным показателем можно определить и для отрицательного основания. Об этом сообщается, например, на странице 100 в книге "Элементарная математика. Часть 1: Теория чисел. Алгебра" Е. В. Хорошиловой.

А вот что пишут в моём учебнике:

Посмотрите, пожалуйста, прикреплённый файл.

Алексей Георгиевич!

Если можно, восстановите, пожалуйста, удалённый мной ответ на вопрос в этой консультации. Из-за того, что я редко занимаюсь специфическими вопросами элементарной математики, я поспешил его удалить. Спустя несколько минут я вспомнил, в каком литературном источнике встречал альтернативное определение степени с рациональным показателем.

Алексей Георгиевич!

Если можно, восстановите, пожалуйста, удалённый мной ответ на вопрос в этой консультации. Из-за того, что я редко занимаюсь специфическими вопросами элементарной математики, я поспешил его удалить. Спустя несколько минут я вспомнил, в каком литературном источнике встречал альтернативное определение степени с рациональным показателем.

Я восстановил Ваш ответ. Его правильность/корректность пусть определяют модераторы.

Благодарю Вас, Алексей Георгиевич!

Корень нечетной степени из отрицательных чисел вполне допустим, поэтому ОДЗ не х>0, а х[$8800$]0.
Поэтому решение Михаила Александрова неверное,
соответственно, Андрея Владимировича - верное

Почему тогда пишут, что ООФ только положительные числа?

Я думаю, что тут многое зависит от принятых соглашений. Обсуждение подробностей явно выходит за рамки школьного курса математики. В своё время я два часа потратил на дискуссию по аналогичному вопросу с преподавателями кафедры "Информатика и вычислительная техника" нашего института повышения квалификации...

Своё решение я предложил с замечанием, указанным в конце моего ответа. Для автора вопроса достаточно того решения, которое дал Михаил Александров.

Здравствуйте, Михаил! Не переживайте, пожалуйста! Вы действовали в рамках традиционного школьного курса математики.

Я уже не помню, что было в школе Давно было...
У меня никогда не вызывало сомнения, что корень третьей степени из минус единицы равен минус единице...
Что такое корень? Это такое число, которое надо умножить соотвествующее число раз само на себя и получить подкоренное число... Разве не так? Да и график корня нечетной степени ВСЕГДА строится в двух квадрантах.
Получается, в школе говорят неправильно? Странно...

В школе говорят, например, о равных отрезках. Но, по-моему, нужно говорить о конгруэнтных отрезках, следуя А. Н. Колмогорову...

Вам нельзя забывать о том. что Вы проходили в школе. Обязанности администратора раздела "Математика" пока что возложены на Вас. И это надолго...

строго говоря, я в школе был знаком с многим из того, что потом нам читали на первом курсе У нас был кружок любителей...
Школьного курса мне было мало... Так что, боюсь, что уже тогда я был уверен в предмете этого разговора...

Игорь Витальевич! Тем не менее, и составители современных учебников по математике для средней школы, и М. И. Сканави с коллегами в своей "Элементарной математике" ограничиваются случаем положительного основания рациональной степени...

Обратите, пожалуйста, внимание на многоточие в конце предыдущего предложения. Автор вопроса положительно оценил и ответы Михаила Александрова, и мои на аналогичные вопросы в нескольких следующих консультациях. Значит, дело сделано: налицо плюрализм мнений в, казалось бы, незыблемых истинах. В этом я и вижу главную цель нашего портала в отношении учебных консультаций: научить мыслить.

В высшей математике есть тоже много спорных моментов...

ну и отлично!
Пусть автор вопроса учится мыслить... На этом и порешим...

У меня никогда не вызывало сомнения, что корень третьей степени из минус единицы равен минус единице...
Игорь Витальевич, здесь я с Вами абсолютно согласен. Но речь идёт о рациональных степенях. Например, выражение -1 в стпепени 1/3, согласно моему учебнику, не имеет смысла...

Я получил два уведомления о Ваших сообщениях в этом мини-форуме. Увидел только одно сообщение, которое адресовано не мне, а Игорю Витальевичу. Он сам ответит Вам на него. Вы хотели что-то сообщить мне или спросить о чём-то?

Нет, благодарю Вас за Ваш ответ. К сожалению, мой учебник гласит следующее:

Поэтому я и предложил Вам хотя бы иметь в виду возможность альтернативного подхода.

Но это касается степеней с рациональным (дробным) показателем. А, как писал, Игорь Витальевич, корень третьей степени из -1 существует. Но, согласно учебнику не существует -1 в 1/3 степени...

Не повторяйтесь, пожалуйста: ведь

Это я понимаю...
Но почему же в учебнике такое сказано в таком случае?

Не заморачивайтесь на этом сейчас. Если будете и дальше изучать математику, то поймёте...

Мне добавить нечего к тому, что сказал Андрей Владимирович.

Но почему же в учебнике такое сказано в таком случае?

Не удивляйтесь, в школьных учебниках обычно математику излагают упрощённо и с некоторыми ограничениями. Например, в курсе арифметики вам скажут, что квадратный корень из положительного числа существует ровно один, а из отрицательного - не существует. В старших классах (в курсе алгебры и начал анализа) уточнят, что арифметический квадратный корень - один, а алгебраических - два (с "плюсом" и с "минусом"). А на первом курсе университета вы скорее всего узнаете, что из отрицательного числа тоже можно извлечь квадратный корень, только он уже будет не вещественным, а мнимым (а из курса теории функций комплексного переменного, если он у вас будет, вы также узнаете, что корень n-ой степени из любого вещественного числа имеет n разных значений, большинство из которых - комплексные, но одно или два могут быть вещественными).

С Вашими задачами та же ситуация. Если решать их "по-школьному", то ответы Михаила абсолютно правильны, а если "по-университетски", то правильными будут ответы/уточнения Андрея Владимировича. Используйте те, которые соответствуют Вашей программе.

Спасибо.