Здравствуйте, levushka-ivlev!

Воспользуемся методами аналитической геометрии. Пусть наш куб расположен таким образом, что точка A совпадает с началом координат, а рёбра AB, AD и AA₁ лежат на осях координат Ox, Oy и Oz соответственно. Тогда вершины куба будут иметь следующие координаты: A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), A₁(0,0,1), B₁(1,0,1), C₁(1,1,1), D₁(0,1,1). Точка Р - середина отрезка A₁D₁, поэтому её координаты будут средним арифметическим координат точек A₁(0,0,1) и D₁(0,1,1), то есть P(0,1/2,1). Аналогично, для A(0,0,0) и B₁(1,0,1) координаты точки Q составят 2\3 от координат точки B, то есть Q(2/3,0,2/3). Наконец, точка R, лежащая на пересечении диагоналей грани BB₁C₁C, является, очевидно, её центром, и её координаты будут равны R(1, 1/2, 1/2).

Составим уравнение плоскости PQR. Для этого возьмём на плоскости произвольную точку M(x,y,z) и воспользуемся тем, что вектора PM = {x,y-1/2, z-1}, PQ = {2/3,-1/2,-1/3} и PR = {1,0,-1/2} лежат в одной плоскости, следовательно, их смешанное произведение равно нулю:

откуда уравнение плоскости PQR будет иметь вид x+2z-2=0. Так как координата y в уравнении отсутствует, то плоскость PQR будет параллельна оси Oy, а следовательно, и рёбрам куба AD, BC, A₁D₁ и B₁C₁. Так как точка P плоскости лежит на ребре A₁D₁, то и всё это ребро принадлежит плоскости. Аналогично, из принадлежности плоскости точки Q, являющейся центром грани BB₁C₁C куба следует, что пересечением плоскости PQR с этой гранью будет отрезок EF, проходящий через точку Q параллельно BC и B₁C₁, причём точки E и F будут серединами рёбер BB₁ и CC₁ (то есть BE = EB₁ и CF = FC₁).

Очевидно, что сечением куба плоскостью PQR будет прямоугольник A₁EFD₁, в котором AD₁ = EF = 1, A₁E = [$8730$]A₁B₁² + B₁E² = [$8730$]1+1/4 = [$8730$]5/2 и аналогично D₁F = [$8730$]5/2. Следовательно, периметр сечения равен 1 + [$8730$]5/2 + 1 + [$8730$]5/2 = 2 + [$8730$]5.

Диагональ куба AC₁ проходит через вершины куба A(0,0,0) и C₁(1,1,1), следовательно, для всех её точек x = y = z. Тогда точка пересечения диагонали с плоскостью PQR (имеющей уравнение x+2z-2=0) будет иметь координаты (2/3,2/3,2/3), то есть плоскость сечения делит диагональ в отношении 2:1, считая от вершины А.