Здравствуйте, dar777!
Я начертил простенькую эл-схемку для Вашей задачи, и решение сразу стало понятным.

В Условии задачи не оговорена полярность соединяемых батарей, поэтому будем полагать самый популярный случай согласного соединения (минус к минусу, плюс к плюсу).
Зададим направления предполагаемых токов. Вероятно, ток I2 будет вытекать из источника E2, а ток I1 будет втекать в источник E1, потому что напряжение E2=10 Вольт вдвое больше напряжения E1=5 Вольт.

Составим уравнения : В верхнем узле I2 = I1 + I3 , поскольку сумма втекающих токов равна сумме вытекающих.
По закону Ома напряжение U3 = I3 · R3
I2 = (E2 - U3) / R2
I1 = (U3 - E1) / R1

Осталось решить полученную систему 4х уравнений с 4мя неизвестными.
В Условии запрошены I3 и U3, тогда избавляемся от I1 и I2 , подставляем выражения токов из 2х нижних уравнений в первое:
(E2 - U3) / R2 = (U3 - E1) / R1 + I3
Заменяем U3 на I3 · R3 из уравнения 2 : (E2 - I3 · R3) / R2 = (I3 · R3 - E1) / R1 + I3
E2/R2 - I3 · R3 / R2 = I3 · R3/R1 - E1 / R1 + I3
E2 / R2 + E1 / R1 = I3 · (1 + R3 / R1 + R3 / R2)
I3 = (E2 / R2 + E1 / R1) / (1 + R3 / R1 + R3 / R2) = (10/2 + 5/1) / (1 + 10 + 5) = 10 / 16 = 0,625 Ампера.
U3 = I3 · R3 = 0,625 · 10 = 6,25 Вольт

Ответ : Искомая сила тока в резисторе R3 равна I3 = 0,625 Ампера
Напряжение на зажимах второго источника тока U3 = 6,25 Вольт.

Проверяем : I1 = (U3 - E1) / R1 = (6,25 - 5) / 1 = 1,25 Ампер
I2 = (E2 - U3) / R2 = (10 - 6,25) / 2 = 1,875 Ампер
I1 + I3 = 1,25 + 0,625 = 1,875 = I2 - всё точно!