Здравствуйте, moonfox!
В данной задаче нас спрашивают, сколько теплоты выделится после размыкания ключа, поэтому и закон сохранения энергии нужно применить только к этому состоянию - после размыкания ключа выделится энергия, запасённая на тот момент в катушке.

Принимаем, что сопротивление неизвестного резистора достаточно велико, чтобы в момент времени перед размыканием ключа ток, текущий через этот резистор, не создавал значительного падения напряжения на внутреннем сопротивлении источника ЭДС.
Тогда, если через катушку течёт ток I, напряжение равно
U=[$8496$]-Ir
а скорость изменения тока через катушку
dI/dt=U/L=([$8496$]-Ir)/L
Энергия магнитного поля катушки
W=LI²/2
скорость её изменения
dW/dt=d(LI²/2)dt=LI[$183$]dI/dt=I([$8496$]-Ir)=[$8496$]I-rI²
её производная
d²W/dt²=d(dW/dt)/dI[$183$]dI/dt=([$8496$]-2rI)[$183$]dI/dt
приравнивая d²W/dt²=0, находим условие максимальной скорости изменения энергии катушки
[$8496$]-2rI=0
I=[$8496$]/2r
Собственно, это условие максимальной мощности источника напряжения, что мы и получаем из сохранения энергии, пренебрегая вкладом тока через неизвестное сопротивление.

Отсюда, энергия катушки в момент размыкания ключа и теплота, выделяющаяся после размыкания,
Q=W=LI²/2=L[$8496$]²/8r²



Дополнение:
А что если не пренебрегать током через неизвестное сопротивление?
Выразим напряжение через ток в катушке I_L
U=[$8496$]-r(I_L+I_R)=[$8496$]-rI_L-rU/R
U(1+r/R)=[$8496$]-rI_L
U=([$8496$]-rI_L)R/(R+r)

dU/dI_L=-Rr/(R+r)

Всё так же выражаем скорость изменения энергии катушки через напряжение и ток
dW/dt=LI_L[$183$]dI_L/dt=I_LU
дифференцируем. При максимуме скорости увеличения энергии этот дифференциал обращается в ноль
d(I_LU)=dI_L[$183$]U+I_L[$183$]dU=
=dI_L[$183$]U-I_L[$183$]dI_L[$183$]Rr/(R+r)=0
находим напряжение
dI_L[$183$]U=I_L[$183$]dI_L[$183$]Rr/(R+r)
U=I_LRr/(R+r)

приравниваем выражения напряжения
I_LRr/(R+r)=([$8496$]-rI_L)[$183$]R/(R+r)
I_Lr=[$8496$]-rI_L
откуда получаем всё то же выражение тока через катушку
I_L=[$8496$]/2r
Таким образом ток через катушку в момент размыкания ключа и искомая энергия в ней оказываются полностью независимыми от величины неизвестного сопротивления, от величины этого сопротивления будет зависеть только время, которое потребуется для достижения момента размыкания ключа, и скорость выделения теплоты после.