Здравствуйте, nata!
В статье "Дифференциал функции" math24.ru/дифференциал-функции.html доказано, что искомый Вами Дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента : dy = y'(x)·dx
Чтоб найти производную сложной функции y(x) = arctg(sh(x)) + sh(x) * ln(ch(x)) воспользуемся полезными свойствами дифференциала, описанными в той же статье.
Свойство "Дифференциал суммы (разности) функций : d(u ± v) = du ± dv" означает, что Дифференциал Вашей функции можно представить как сумму дифференциалов от 2х слагаемых
y1(x) = arctg(sh(x)) и y2(x) = sh(x) * ln(ch(x))

Для получения дифференциала от первого слагаемого используем свойство "Инвариантность формы дифференциала" : сложную функцию y1(x) можно представить как 2 простые y1(u)=arctg(u) и u(x) = sh(x) . Тогда производная
y1'_x(x) = y1'_u(u) • u'_x(x) , где нижний индекс обозначает переменную, по кот-й производится дифференцирование.

Второе слагаемое состоит из произведения 2х более простых функций sh(x) и ln(ch(x)) . Для вычисления второго дифференциала используем свойство Дифференциал произведения 2х функций : d(u·v) = v·du + u·dv

Подробные выкладки и вычисления удобно делать в бесплатном вычислительном приложении Маткад ru.wikipedia.org/wiki/Mathcad , который может решить Вашу задачу в одно действие. Но я специально "растянул" команды, чтоб Вы могли увидеть пошаговые формулы и результаты. Маткад скриншот прилагаю.

На скрине отсутствует только один промежуточный результат, а именно:
Для функции y1(u)=arctg(u) производная y1' = 1 / (u² + 1)
Ответ : Дифференциал функции в точке с абсциссой x0=0 равен dy = 1 * dx = dx

Здравствуйте, nata!

Одним из требований, которые предъявляются к студенту при изучении курса дифференциального и интегрального исчислений, является знание на память таблиц производных и интегралов. В частности, при выполнении рассматриваемого задания нужно знать, что



Кроме этого, нужно знать, что

Учитывая изложенное выше, получим