14.12.2018, 05:12 [+3 UTC]
в нашей команде: 3 223 чел. | участники онлайн: 3 (рекорд: 19)

:: РЕГИСТРАЦИЯ

:: задать вопрос

:: все разделы

:: правила

:: новости

:: участники

:: доска почёта

:: форум

:: блоги

:: поиск

:: статистика

:: наш журнал

:: наши встречи

:: наша галерея

:: отзывы о нас

:: поддержка

:: руководство

Версия системы:
7.58 (11.12.2018)

Общие новости:
13.12.2018, 11:36

Форум:
08.12.2018, 14:26

Последний вопрос:
14.12.2018, 04:32

Последний ответ:
14.12.2018, 02:52

Последняя рассылка:
13.12.2018, 23:45

Писем в очереди:
0

Мы в соцсетях:

Наша кнопка:

RFpro.ru - здесь вам помогут!

Отзывы о нас:
01.02.2010, 22:02 »
B_production
Есть над чем поразмыслить... [вопрос № 176418, ответ № 259123]
25.07.2010, 12:57 »
Batman
Спасибо за отличный ответ! Отличное знание железа, актуальная информация! [вопрос № 179563, ответ № 262634]

РАЗДЕЛ • Математика

Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

[администратор рассылки: Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор)]

Лучшие эксперты в этом разделе

Гордиенко Андрей Владимирович
Статус: Модератор
Рейтинг: 5217
Лысков Игорь Витальевич
Статус: Старший модератор
Рейтинг: 149
epimkin
Статус: Практикант
Рейтинг: 115

Перейти к консультации №:
 

Консультация онлайн # 193389
Раздел: • Математика
Автор вопроса: Асмик Гаряка (Советник)
Отправлена: 14.06.2018, 14:09
Поступило ответов: 1

Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:

Впишите в квадрат со стороной 100 фигуру, для которой отношение площади к периметру было бы максимальным. Например, для самого квадрата это отношение равно 25.

Состояние: Консультация закрыта

Здравствуйте, Асмик Гаряка!


Как известно, круг имеет наибольшую площадь при постоянном периметре, но отношение площади к периметру также прямо пропорционально линейным размерам фигуры, поэтому при определённых ограничениях может быть увеличено путём отклонения от формы круга. Также заметим важный вывод насчёт круга - для отношения площади к периметру закругление выгоднее углов.

Учитывая, что как для самого квадрата, так и для вписанного в него круга S/P=25, рассмотрим промежуточный вариант кварата с закруглёнными углами



S=L2-(4-π)x2
P=4L-2(4-π)x

Найдём максимум через производную
d(S/P)dx=0
(dS/dx·P-S·dP/dx)/P2=0
dS/dx·P-S·dP/dx=0
-2·(4-π)x·2(2L-(4-π)x)+(L2-(4-π)x2)·2(4-π)=0
-2x·(2L-(4-π)x)+L2-(4-π)x2=0
(4-π)x2-4xL+L2=0
в область допустимых значений (от x=0, соответствующего квадрату, до x=L/2=50, соответствующего кругу) попадает корень
x=(4L-√(16L2-4L2(4-π)))/(2(4-π))=L·(4-√(4π))/(2(4-π))=L·(2-√π)/(4-π)=L/(2+√π)=26,508

откуда
S/P=(L2-L2(2-√π)/(2+√π))/(4L-2L(2-√π))=L·(1-(2-√π)/(2+√π))/2√π=L·(2√π/(2+√π))/2√π=L/(2+√π)=26,508


Консультировал: Roman Chaplinsky / Химик CH (Модератор)
Дата отправки: 19.06.2018, 14:55

5
нет комментария
-----
Дата оценки: 20.06.2018, 14:08

Рейтинг ответа:

+1

[подробно]

Сообщение
модераторам

Отправлять сообщения
модераторам могут
только участники портала.
ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
регистрация »

Мини-форум консультации № 193389

Гордиенко Андрей Владимирович
Модератор

ID: 17387

# 1

= общий = | 14.06.2018, 15:15 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Асмик Гаряка:

Я рискну предположить, что наряду с самим квадратом, в соответствии с результатами, указанными здесь, такой фигурой будет вписанный в квадрат круг. Его радиус площадь периметр отношение площади к периметру

А чтобы "с ходу" это доказать, нужно знать соответствующие работы по геометрии. Возможно, среди экспертов есть такие знатоки. smile

=====
Facta loquuntur.

Асмик Гаряка
Советник

ID: 230118

# 2

= общий = | 14.06.2018, 17:20 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер

А нельзя ли придумать фигуру, чтобы было больше 25?

Гордиенко Андрей Владимирович
Модератор

ID: 17387

# 3

= общий = | 14.06.2018, 17:29 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Асмик Гаряка:

© Цитата: Асмик Гаряка
А нельзя ли придумать фигуру, чтобы было больше 25?

Я думаю, что нельзя. Среди фигур, имеющих заданный периметр, наибольшую площадь имеет круг. Впрочем, я могу ошибаться. Ведь изопериметрические и тому подобные задачи я не изучал.

Почему бы Вам не обратиться на математический форум? На нашем форуме математики если и бывают, то очень редко.

=====
Facta loquuntur.

Асмик Гаряка
Советник

ID: 230118

# 4

= общий = | 14.06.2018, 17:39 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Гордиенко Андрей Владимирович:

Например, половинку эллипса?

Алексеев Владимир Николаевич
Мастер-Эксперт

ID: 259041

# 5

= общий = | 14.06.2018, 17:40 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Асмик Гаряка:

Вы спрашивали : "А нельзя ли придумать фигуру, чтобы было больше 25?" - я придумал 2 фигуры. Окружность, вписанная в квадрат так, что её 80% длины сдавлены внеш-квадратом, имеет отношение площади к периметру 25,9. А вписанный 8-угольник, у кот-го 10% длины скошены возле квадра-углов, имеет отношение 26,0 !
Рисовать надо?

Гордиенко Андрей Владимирович
Модератор

ID: 17387

# 6

= общий = | 14.06.2018, 18:00 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Асмик Гаряка:

© Цитата: Асмик Гаряка
Например, половинку эллипса?

Вы вычислили для этой фигуры отношение

=====
Facta loquuntur.

Алексеев Владимир Николаевич
Мастер-Эксперт

ID: 259041

# 7

= общий = | 14.06.2018, 18:04 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Асмик Гаряка:

Алексеев Владимир Николаевич
Мастер-Эксперт

ID: 259041

# 8

= общий = | 14.06.2018, 18:10 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Асмик Гаряка:

Для вписано-сплюснутой красной окружности площадь S=80^2 + 4*10*80 + pi * 10^2=6400+3200+314=9914
Периметр P=4*80 + pi * 20 = 320 + 62,8 = 382,8
Отношение S/P=25,9

Для вписанного синего 8-угольника площадь
S=80^2 + 4*10*80 + 20^2 / 2=6400+3200+200=9800
Периметр P=4*80 + 4 * 10 * Корень(2) = 320 + 4*14,1 = 377
Отношение S/P=26,0

В обоих вариантах значение X выбрано "с потолка". Осталось найти оптимальное значение X . У нас уже 01:16 на ДальВостоке. Если надо помогать дальше, тогда продолжим завтра.

• Отредактировал: Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)
• Дата редактирования: 14.06.2018, 18:18

Асмик Гаряка
Советник

ID: 230118

# 9

= общий = | 14.06.2018, 18:15 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Гордиенко Андрей Владимирович:

Тут нет заданного периметра. Представьте, что в квадратной коробке лежит резиновая лента. И туда начинают запускать газ. Какую форму примет лента?

Асмик Гаряка
Советник

ID: 230118

# 10

 +1 
 
= общий = | 14.06.2018, 18:17 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Алексеев Владимир Николаевич:

Молодец!

Roman Chaplinsky / Химик CH
Модератор

ID: 156417

# 11

= общий = | 15.06.2018, 11:45 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер

Берём обозначения согласно рисунку Владимира Николаевича
S=L2-(4-π)x2
p=4L-2(4-π)x

Попробовал разобрать через производную d(S/p)/dx=0, оно свелось к уравнению
(4-π)x2-4xL+L2=0
Откуда выходит
x=26,508
S/p=26,508
любопытное совпадение значений, однако

Алексеев Владимир Николаевич
Мастер-Эксперт

ID: 259041

# 12

= общий = | 15.06.2018, 13:48 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Асмик Гаряка:

Вы просили "увеличьте радиус" - так я его уже увеличил. У 8-угольника радиус дуги бесконечен.

Алексеев Владимир Николаевич
Мастер-Эксперт

ID: 259041

# 13

= общий = | 15.06.2018, 13:53 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Roman Chaplinsky / Химик CH:

Ваше решение "S=L2-(4-π)x2" я так понимаю для 4х дуг? Мне интуиция так и подсказывала, x=10% - маловато будет. У Вас всё точно!
Интересно, получить отношение S/P при оптимальном X для 8-угольника. Полагаю, оно будет ещё больше, чем для дуг? Как вычислять Производные - я уже забыл.

Асмик Гаряка
Советник

ID: 230118

# 14

= общий = | 15.06.2018, 15:38 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Алексеев Владимир Николаевич:

Резиновая лента примет форму восьмиугольника? Нет, она прилипнет к стенкам, кроме углов.

Алексеев Владимир Николаевич
Мастер-Эксперт

ID: 259041

# 15

= общий = | 15.06.2018, 16:12 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Асмик Гаряка:

Да пусть лента липнет, я не против. Только вспомните, что Ваша задача не про ленту, а про поиск фигуры, "для которой отношение площади к периметру было бы максимальным".

Алексеев Владимир Николаевич
Мастер-Эксперт

ID: 259041

# 16

= общий = | 16.06.2018, 13:12 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Асмик Гаряка:

Маткад нашёл оптимальное значени x для 8-угольника : при x=15,4 отношение площади к периметру = 26,176. Побить рекорд Романа Chaplinsky не удалось. Значит, Округлость побеждает угловатость!

-----
 Прикрепленный файл (кликните по картинке для увеличения):

Алексеев Владимир Николаевич
Мастер-Эксперт

ID: 259041

# 17

= общий = | 16.06.2018, 13:13 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Асмик Гаряка:

В увеличенном масштабе:

-----
 Прикрепленный файл (кликните по картинке для увеличения):

Алексеев Владимир Николаевич
Мастер-Эксперт

ID: 259041

# 18

= общий = | 20.06.2018, 05:36 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер

Эта интересная задача не такая уж и абстрактная, как кажется поначалу. Она может иметь практическое применение и принести экономический эффект! Например, в башне-цилиндре с ограниченным количеством материала для боковой поверхности цилиндра можно уместить больше содержимого, если заменить круглое сечение на квадрат с закруглёнными углами, как в Ответе Романа Chaplinsky .
Тара в такой форме будет иметь гораздо бОльшую плотность упаковки во внешнем контейнере, чем кругло-цилиндрические бутыли!

Недостаток сплющенного цилиндра : если ёмкость такой приплюснутой формы будет под высоким давлением (эл-водо-нагреватель), то для поддержания формы плоской части стенки потребуется бОльшая прочность, чем для разрыва окружности. Поддержание формы можно обеспечить ребристостью, гофрированием, некоторым утолщением либо смириться с небольшим распиранием плоскости.

 

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.

Яндекс Rambler's Top100

главная страница | поддержка | задать вопрос

Время генерирования страницы: 0.15843 сек.

© 2001-2018, Портал RFPRO.RU, Россия
Калашников О.А.  |  Гладенюк А.Г.
Версия системы: 7.58 от 11.12.2018