Здравствуйте, Асмик Гаряка!
Как известно, круг имеет наибольшую площадь при постоянном периметре, но отношение площади к периметру также прямо пропорционально линейным размерам фигуры, поэтому при определённых ограничениях может быть увеличено путём отклонения от формы круга. Также заметим важный вывод насчёт круга - для отношения площади к периметру закругление выгоднее углов.
Учитывая, что как для самого квадрата, так и для вписанного в него круга S/P=25, рассмотрим промежуточный вариант кварата с закруглёнными углами
S=L
2-(4-[$960$])x
2P=4L-2(4-[$960$])x
Найдём максимум через производную
d(S/P)dx=0
(dS/dx[$183$]P-S[$183$]dP/dx)/P
2=0
dS/dx[$183$]P-S[$183$]dP/dx=0
-2[$183$](4-[$960$])x[$183$]2(2L-(4-[$960$])x)+(L
2-(4-[$960$])x
2)[$183$]2(4-[$960$])=0
-2x[$183$](2L-(4-[$960$])x)+L
2-(4-[$960$])x
2=0
(4-[$960$])x
2-4xL+L
2=0
в область допустимых значений (от x=0, соответствующего квадрату, до x=L/2=50, соответствующего кругу) попадает корень
x=(4L-[$8730$](16L
2-4L
2(4-[$960$])))/(2(4-[$960$]))=L[$183$](4-[$8730$](4[$960$]))/(2(4-[$960$]))=L[$183$](2-[$8730$][$960$])/(4-[$960$])=L/(2+[$8730$][$960$])=26,508
откуда
S/P=(L
2-L
2(2-[$8730$][$960$])/(2+[$8730$][$960$]))/(4L-2L(2-[$8730$][$960$]))=L[$183$](1-(2-[$8730$][$960$])/(2+[$8730$][$960$]))/2[$8730$][$960$]=L[$183$](2[$8730$][$960$]/(2+[$8730$][$960$]))/2[$8730$][$960$]=L/(2+[$8730$][$960$])=26,508