Здравствуйте, IIISergeyIII!
Исходная система уравнений:
xyz + xy + yz + xz + x + y + z = 1
yzt + yz + yt + zt + y + z + t = 3
ztx + zt + zx + tx + z + t + x = 5
txy + tx + ty + xy + t + x + y = 7
Вычтем превое уравнение из второго. После преобразований получим:
(t - x)(yz + y + z) + t - x = 2
Теперь умножим первое уравнение на t, второе на x и вычтем из первого второе.
Получим после преобразований:
(t - x)(yz + x + y) = t - 3x.
Комбинируя эти два уравнения, найдем
t - 2x =1.
Аналогично, для пар 2-го и 3-его, 3-его и 4-го, 4-го и 1-го уравнений находим:
2x - 3y = 1; 3y - 4z = 1; t - 4z = 3.
Только три из этих уравнений независимы. Чтобы найти решение, выразим
x, y, z через t
x = (t - 1)/2, y = (t - 2)/3, z = (t - 3)/4,
и подставим результат в 4-ое уравнение исходной системы.
После раскрытия скобок получим
t³ + 3t² + 3t - 47 = 0, или
(t + 1)³ = 48.
Действительный корень этого уравнения один:
t = 48^1/3 - 1.
Выразим через t сумму x + y + z + t:
x + y + z + t = (25t - 23)/12;
После подстановки найдем приближенно:
x + y + z + t = 3.571335.