Здравствуйте, oktyabrinabaeva!

Анализируя условие задачи, придём к выводу, что рассматриваемое электрическое поле обладает сферической симметрией, силовые линии поля - прямые, направленные радиально.

Обозначим объёмную плотность заряда внутри шара буквой

Воспользуемся теоремой Гаусса. Вспомогательную поверхность радиуса примем сферической, с центром в центре рассматриваемого шара. Теорема Гаусса для вспомогательной поверхности в вакууме может быть записана в виде

где - полный заряд, содержащийся в объёме, который ограничен вспомогательной поверхностью - электрическая постоянная. На вспомогательной поверхности нормаль совпадает с направлением радиус-вектора, поэтому

Следовательно,


Полный заряд, стоящий в правой части формулы зависит от радиуса вспомогательной поверхности.

При

Тогда из выражений получим



При

Тогда из выражений получим




Из выражений видно, что при напряжённость поля прямо пропорциональна а при - обратно пропорциональна При этом

то есть функция непрерывна в точке

Итак,


Эскиз графика функции показан ниже.



Зависимость потенциала рассматриваемого поля от радиуса вспомогательной поверхности можно установить, учитывая, что Тогда при

В частности, если принять, что (начало отсчёта потенциала выбрано в центре объёмно заряженного шара), то


и при

В силу непрерывности функции и согласно формулам получим


Из формул получим, что при


Итак, если то


Проверьте предложенное решение задачи прежде, чем использовать его. И попробуйте, пожалуйста, выполнить рисунок зависимости самостоятельно. Соответствующая кривая выходит из начала координат как парабола, при плавно переходит в гиперболу, асимптотически приближаясь к прямой Это значение потенциала в три раза больше по абсолютной величине, чем значение потенциала при