Здравствуйте, Елена Васильевна!
Рассмотрим первое из предложенных Вами заданий.
а) По-моему, примером такой функции
что не существует
и существует
является
б) По-моему, примером такой функции
что не существует
и существует
является
Функция, упомянутая мной выше, тоже может быть примером.
в) И нет такой функции
что не существует
и существует
потому что для неё не существует
г) И, наконец, в силу непрерывности функции
на всём множестве действительных чисел, из существования
следует, что
(предельный переход является перестановочным с операцией взятия непрерывной функции (см.
здесь)), то есть
существует. Противоречие.
Прошу Вас не ругать меня крепко, если я ошибся в чём-то из записанного.
P. S. Как указали Вы сами в мини-форуме консультации, мой вывод по последнему пункту задания оказался ошибочным. Действительно, учитывая, что функция, указанная в первом пункте, является подходящим примером.
P. P. S. Подходящим примером для третьего пункта является функция
Об авторе:
Facta loquuntur.