Здравствуйте, vlaad!
Если груз m₁ перемещается вверх/вниз на расстояние 2[$916$]x, то груз m₂ перемещается вниз/вверх на расстояние [$916$]x. Так как m₂ = 2m₁, энергия системы грузов m₁, m₂ не изменяется (блоки и нити считаем невесомыми). Следовательно, сила, действующая на груз m₃ стороны системы блоков с грузами m₁, m₂ по принципу виртуальной работы равна нулю. Поэтому груз m₃ будет двигаться с ускорением свободного падения g.

Вместо предыдущего ошибочного решения (в котором была забыта кинетическая энергия) приведу
другое решение, основанное на использовании уравнений Лагранжа.

Смещения [$916$]x1, [$916$]x2 грузов m1, m2 пропорциональны смещению [$916$]x3 груза m3:
[$916$]x1 = b13[$916$]x3, [$916$]x2 = b23[$916$]x3, постоянные коэффициенты b13, b23 определим позже.
Дифференцируя, находим v1 = b13v3, v2 = b23v3.
Выразим кинетическую и потенциальную энергию системы через скорость и координату третьего груза:
T = (1/2)*(m1v1²+m2v2²+m3v3²)= (1/2)*(b13²m1+b23²m2 +m3)*v3²;
U = -g*(m1[$916$]x1 + m2[$916$]x2 + m3[$916$]x3) = -g*(b13m1 + b23m2 + m3)*[$916$]x3.
Здесь предполагается, что ось x направлена вниз и потенциальная энергия отсчитывается от начального положения грузов.
Подставим выражения для кинетической и потенциальной энергии в уравнение Лагранжа
d(dT/dv3)/dt + dU/dx3 = 0,
получим
(b13²m1+b23²m2+m3)*a3 = g*(b13m1 + b23m2 + m3),
откуда найдем общее выражение для ускорения третьего груза:
а3= g*(b13m1 + b23m2 + m3)/(b13²m1+b23²m2+m3).
Определим коэффициенты b13, b23 из рисунка. Заметим, что между [$916$]x1, [$916$]x2, [$916$]x3 существует связь
[$916$]x1=-2[$916$]x2; [$916$]x3=([$916$]x1+[$916$]x2/2)/2,
откуда [$916$]x1 = (8/3)[$916$]x3, [$916$]x2 = -(4/3)[$916$]x3,
т.е. b13 = 8/3, b23 = -4/3.
Подставляя значения b13, b23 и масс m1=1, m2 = 2, m3 = 3 в формулу для ускорения, получим
a3 = g*((8/3)*1 - (4/3)*2 + 3)/((8/3)2*1 + (4/3)2*2 + 3) = (9/41)*g.

Здравствуйте, vlaad!
Как подметил Сергей Евгеньевич, потенциальная энергия системы грузов массами m₁ и m₂ не изменяется.
Если груз m₃ опускается с ускорением a₃ и (поскольку движение равноускоренное, и приняв за t=0 момент, когда система неподвижна) скоростью v₃=a₃t,
то его потенциальная энергия уменьшается со скоростью dW/dt=m₃v₃g=m₃a₃gt,
и она преобразуется в кинетическую энергию всех трёх грузов

Взаимоотношения скоростей грузов определяем со схемы (за положительное направление принимаем движение вниз)
v₂=-v₁/2
v₃=v₁/2+v₂/4=v1/2-v₁/8=3v₁/8

(также здесь можем убедиться, что для первого и второго грузов m₁v₁g+m₂v₂g=0, то есть сумма их потенциальных энергий действительно неизменна)

v₁=8v₃/3
v₂=-4v₃/3
и, учитывая равноускоренное движение v_i=a_it, ускорения соотносятся так же

прирост кинетической энергии в единицу времени dW/dt=m₁a₁v₁+m₂a₂v₂+m₃a₃v₃=(m₁a₁²+m₂a₂²+m₃a₃²)t
приравниваем мощности и подставляем известные данные
3m₁a₃gt=(m₁(64/9)a₃²+2m₁(16/9)a₃²+3m₁a₃²)t
3g=(64/9+32/9+3)a₃=123a₃/9
g=41a₃/9
a₃=9g/41

Рекомендую перепроверить выкладки во избежание ошибок