Здравствуйте, vlaad!

Вы не сочли нужным ответить на адресованное Вам сообщение в мини-форуме консультации. Поэтому я вынужден оформить его как ответ на Ваш вопрос.

Действительно, в условии задачи не указано количество учеников, не участвовавших в олимпиадах. Поэтому Вы должны задать вопрос преподавателю, чтобы уточнить условие задачи.

Можно, однако, предположить, что 63 - это количество не всех учеников одиннадцатых классов, а количество учеников, принявших участие хотя бы в одной олимпиаде. Тогда обозначим A - множество учеников, участвовавших в олимпиаде по физике; B - множество учеников, участвовавших в олимпиаде по биологии; C - множество учеников, участвовавших в олимпиаде по химии. Согласно условию задачи, |A[$8746$]B[$8746$]C|=63, |A|=31, |B|=29, |C|=34, |A[$8746$]C|=57, |A[$8746$]B|=39, |B[$8746$]C|=56. Требуется вычислить |A[$8745$]B|+|B[$8745$]C|+|A[$8745$]C|-|A[$8745$]B[$8745$]C|.

По формуле включений и исключений для трёх множеств имеем

откуда следует, что


При таком подходе получается, что ровно в двух олимпиадах участвовал 31 ученик.

Здравствуйте, vlaad!
Пусть A, B, C - множества участников олимпиад по физике, биологии и химии соответственно, X, Y, Z - множества учеников, участвовавших в олимпиадах только по физике и биологии, только по физике и химии и только по биологии и химии. Множества X, Y, Z и множество учеников, участвовавших во всех трех олимпиадах A[$8745$]B[$8745$]C не пересекаются. Поэтому
|A[$8745$]B| = |X| + |A[$8745$]B[$8745$]C|; |A[$8745$]C| = |Y| + |A[$8745$]B[$8745$]C|, |B[$8745$]C| = |Z| + |A[$8745$]B[$8745$]C|.
Складывая эти уравнения, найдем, что искомое количество учеников, участвовавших ровно в двух олимпиадах равно
|X| + |Y| + |Z| = |A[$8745$]B| + |A[$8745$]C| + |B[$8745$]C| - 3*|A[$8745$]B[$8745$]C|.
Очевидно,
|A[$8746$]B| = |A| + |B| - |A[$8745$]B|,
откуда находим
|A[$8745$]B| = |A| + |B| - |A[$8746$]B| = 31 + 29 - 39 = 21.
Аналогично получим |A[$8745$]C| = 31 + 34 - 57 = 8, |B[$8745$]C| = 29 + 34 - 56 = 7.
По формуле включений-исключений
|A[$8746$]B[$8746$]C| = |A| + |B| +C| - |A[$8745$]B| - |A[$8745$]C| - |B[$8745$]C| + |A[$8745$]B[$8745$]C|.
Считая, что |A[$8746$]B[$8746$]C| = 63, определим количество учеников, участвовавших в трех олимпиадах:
|A[$8745$]B[$8745$]C| = 63 - 31 - 29 - 34 + 21 + 8 + 7 = 5.
Количество учеников, участвовавших ровно в двух олимпиадах, равно:
|X| + |Y| + |Z| = 21 + 8 + 7 - 3*5 = 21.
Ответ: 21.