Здравствуйте, Dim Dox!

Момент инерции стержня относительно оси подвеса равен

Момент инерции шара относительно оси подвеса равен

Момент инерции физического маятника относительно оси подвеса равен


Расстояние от оси подвеса до центра масс стержня равно

Расстояние от оси подвеса до центра масс шара равно

Расстояние от оси подвеса до центра масс физического маятника равно

Расстояние, на которое переместится центр масс физического маятника по вертикали при повороте из начального положения, совершив половину оборота относительно оси подвеса, равно


Физический маятник приобретает скорость в результате удара шарика. Рассмотрим систему физический маятник - шарик. Внешними по отношению к этой системе являются силы тяжести и вертикальная составляющая реакции оси, не изменяющие импульса системы. Во время взаимодействия шарика с физическим маятником возникает горизонтальная составляющая реакции оси. Поэтому импульс системы не постоянен, и изменение вектора импульса системы зависит от действия этой горизонтальной внешней силы то есть

где - средняя за время удара горизонтальная составляющая реакции оси.

Поскольку время удара "очень мало", постольку физический маятник не успевает отклониться от вертикального положения. Вектор импульса системы до удара и после удара направлен горизонтально. Моменты всех внешних сил относительно оси подвеса равны нулю и вектор момента импульса системы после удара равен вектору момента системы до удара, то есть


Вектор момента импульса системы до удара равен вектору момента импульса шарика до удара, то есть

где - вектор скорости шарика до удара.
Вектор момента импульса системы после удара равен сумме векторов моментов импульса физического маятника и шарика после удара, то есть

где - вектор угловой скорости физического маятника после удара, - вектор скорости шарика после удара.
Тогда

Чтобы переписать последнее выражение в скалярной форме, направим ось горизонтально вправо, а ось - вертикально вверх. При этом ось будет направлена от плоскости рисунка. В проекциях на эту ось, предположив, что вектор направлен противоположно вектору получим



Кинетическая энергия системы до удара равна кинетической энергии шарика до удара, то есть

Кинетическая энергия системы после удара равна сумме кинетических энергий физического маятника и шарика после удара, то есть

При абсолютно упругом ударе механическая энергия системы сохраняется. Потенциальная энергия системы не изменяется, поэтому кинетическая энергия системы до удара равна кинетической энергии системы после удара, то есть




Решим систему уравнений

Перепишем её так:

Разделив нижнее уравнение на верхнее, получим


Тогда





(При этом физический маятник будет вращаться по ходу часовой стрелки, исходя из рисунка.)

Чтобы после удара физический маятник мог совершить полный оборот, нужно, чтобы он прошёл через положение неустойчивого равновесия своего центра масс в верхней точке траектории движения. Физический маятник займёт это положение, если абсолютная величина его угловой скорости и кинетическая энергия уменьшатся до нуля. Кинетическая энергия физического маятника после удара равна а потенциальную энергию физического маятника после удара примем равной нулю. В положении неустойчивого равновесия кинетическая энергия физического маятника равна нулю, а потенциальная энергия равна взятой с обратным знаком работе силы притяжения Земли по перемещению центра масс физического маятника из положения после удара (крайнее нижнее положение) в положение неустойчивого равновесия (крайнее верхнее положение), то есть Тогда по закону сохранения механической энергии, применительно к физическому маятнику, получим


Этому абсолютному значению угловой скорости физического маятника после удара соответствует, как следует из ранее выведенного выражения для абсолютное значение минимальной скорости шарика, при которой маятник после удара совершает полный оборот, большее, чем

то есть


Итак, чтобы угловая скорость физического маятника в верхней точке была достаточной для совершения им полного оборота после удара (то есть была положительной), нужно, чтобы шарик имел скорость не меньшую, чем м/с. Если начальная скорость шарика в два раза больше этой скорости, то угловая скорость шарика после удара будет равной

Механическая энергия физического маятника после удара будет равной

при подъёме в крайнее верхнее положение она уменьшится на

и составит

что соответствует угловой скорости физического маятника в верхней точке траектории, равной


Обязательно проверьте выполненные мной расчёты, потому что при столь длинном решении ошибки неизбежны, и если захотите использовать моё решение, то не забудьте изменить обозначения и термины в соответствии с указаниями обучающей Вас кафедры. Я использовал те обозначения и термины, которые счёл удобными для себя.