Здравствуйте, zinochka-e!
Рассмотрим линии уровня функции полезности:
Значит, линиями уровня являются гиперболы
где
(точнее, их ветви, расположенные в первой четверти координатной плоскости, исходя из смысла задачи).
В точке
в которой достигается максимальная полезность, касательной к линии уровня является прямая
или
Угловой коэффициент этой прямой
Градиент функции полезности должен быть перпендикулярен этой линии. Координаты вектора градиента функции полезности суть
угловой коэффициент прямой, для которой указанный градиент является направляющим вектором, равен
Из условия перпендикулярности прямых получим
или
Решая систему уравнений
получим
Такой же ответ можно получить, если из уравнения
выразить
и подставить в выражение для функции полезности. Тогда
Приравнивая производную нулю, получим
В том, что получены координаты точки максимума, можно убедиться, если второй раз продифференцировать функцию полезности:
Подставляя
получим
что соответствует максимуму.
Итак,
Об авторе:
Facta loquuntur.