Здравствуйте, 30061501!

Пусть дано уравнение

при начальных условиях

и краевых условиях

По методу Фурье частное ненулевое решение задачи ищется в виде

где - дважды непрерывно дифференцируемые функции своих аргументов. Подстановка в уравнение приводит к задаче Штурма - Лиувилля: найти ненулевое решение дифференциального уравнения

при краевых условиях


Числа называются собственными значениями этой задачи, а отвечающие этим значениям ненулевые решения - собственными функциями. В курсе уравнений математической физики показано, что если то существуют ненулевые решения дифференциального уравнения В этом случае система собственных функций задачи Штурма - Лиувилля является система а общим решением уравнения - ряд

Начальные условия дают




В рассматриваемом случае

Тогда, в соответствии с формулами получим





Чтобы не тратить время на вычисление определённых интегралов, я воспользовался этим ресурсом. Разумеется, я не гарантирую, что выполнил задание безошибочно. Поэтому Вы должны проверить вычисления, несмотря на то, что придётся изрядно потрудиться.