Здравствуйте, abigail!

Исследуем функцию

и построим её график.

1. Функция определена на всём множестве действительных чисел.

2. Функция не является периодической. Функция не является чётной и не является нечётной, потому что и

3. Функция не имеет точек разрыва.

4. При имеем поэтому график функции пересекает ось ординат в точке Вычислим координаты точек пересечения графика функции с осью абсцисс. Для этого нужно решить уравнение

Заметим, что

Поэтому примем и будем решать уравнение

Воспользуемся формулами Кардано. Получим


значит, уравнение имеет один действительный корень;



тогда решением уравнения является
Значит, график функции пересекает ось абсцисс в точке

5. График функции пересекает ось абсцисс один раз. При этом Значит, при функция принимает отрицательные значения, а при функция принимает положительные значения.

6. Ввиду непрерывности функции у её графика нет вертикальных асимптот. Проверим наличие наклонных асимптот:

значит, график функции не имеет наклонных асимптот. Проверим наличие горизонтальных асимптот:


значит, график функции не имеет горизонтальных асимптот.

7. Вычислим производную функции: Приравняем её нулю и решим полученное уравнение:



Вычислим вторую производную функции и значения второй производной при указанных значениях аргумента:

значит, при функция имеет локальный максимум, а при - локальный минимум. При и при функция возрастает, а при функция убывает. При этом

Приравняв вторую производную нулю, получим

При этом

значит, при график функции имеет выпуклость вверх, а при - выпуклость вниз.

8. Построим схематичный график функции, предварительно определив координаты ещё нескольких его точек: