Здравствуйте, Николай Николаевич!
Вы спрашивали "Насколько схема по вашему мнению надежная…?" - надёжность схемы не высокая.
Во-первых: Отсутствие поясняющих надписей "Вход"/"Выход" либо "к Зарядному устройству" / "к Аккумулятору" порождает двусмысленное толкование и ошибки подключения. Что к чему подсоединять, в какой последовательности? Только зная это или перебрав 4 возможных варианта, можно понять принцип работы.
Во-вторых, если всё-таки слева по схеме источник, ЗУ (Зарядное Устройство, что наиболее вероятно), а справа - заряжаемый Аккумулятор, то показанный на схеме УзелЗащиты страхует только в случае, когда заряжаем лишь один аккумулятор. При верном его подключении реле замкнёт контакты, заряд начнётся. Но когда первый аккумулятор отсоединили, то реле остаётся в притянутом состоянии от включенного ЗУ и не спасёт от аварии при ошибочном подключении второго аккумулятора. Равно как и при повторном подключении первого аккумулятора без предвари-отключения от ЗУ.
В-третьих: Схема защиты не спасёт от аварии в случае, когда аккумулятор подсоединили к ней в правильной полярности, а ЗУ - в неправильной.

"Можно ли поставить диоды вместо указанных в схеме…?" - диоды в позициях VD1, VD3, VD4 можно заменить на любые, выдерживающие 15V обратного напряжения и 30мА прямого тока. Например, популярные КД102А, КД102Б, КД103А, КД103Б, похожие на капельки диаметром 2мм и весом 0,1гр. Диод в позиции VD2 должен длительно выдерживать ток обмотки Вашего реле. Если обмотка потребляет 2Вт, значит её ток 2/12=0,17 А . Подойдут обычные выпрямительные диоды КД105, КД106, КД208, КД209…

"из которых паяли диодный мост в большинстве старых компьютерных БП?" - я не знаю, о каких именно диодах Вы спрашиваете, но можно легко проверить имеющиеся у Вас диоды на способность выдерживать нужный прямой ток и обратное напряжение (тестируйте подачей постоянного тока/напряжения через свои диоды с небольшим перегрузом).

"как подобрать резистор?" - если Вы не знаете о наличии ограничительного резистора внутри корпуса светодиода неизвестной марки, то подайте на светодиод 12 вольт через страховочный доп-резистор сопротивлением 1 кОм. Светодиоды бывают разные. Но обычно на них "падает" 2 Вольта при токе 10…20 мА. Постепенно уменьшая сопротивление страховочного резистора до желаемой величины тока, Вы узнаете оптимальное значение доп-сопротивления.

"зачем нужен диод в параллель катушки реле" - диод в позиции VD1 обычно находится в запертом состоянии и не участвует в работе системы. Традиционно диод добавляют параллельно катушке в противоточном направлении изза того, что по законам электро-магнетизма ток через катушку индуктивности не может прекратиться мгновенно. ЭДС самоиндукции понуждает продолжать затухающий ток через обмотку реле доли секунды. Если реле было резко отключено транзистором или микросхемой, то энергия самоиндукции может повредить отключающий прибор. В Вашей схеме "успокаивающий" диод VD1 страхует красный светодиод от прожигающего импульса самоиндукции мощной катушки реле в редчайшем случае, когда схему защитного узла отключили одновременно от входа и выхода.

"может что-то упростить или усовершенствовать?" - чтобы упростить систему и одновременно усовершенствовать её, лучше отказаться от дополнительных защитных устройств, а доработать ЗУ (Зарядное Устройство), чтоб оно прекращало выдавать энергию при отсутствии правильно-подключенного аккумулятора.

Например: 30 лет назад я долго мудрил, как сделать, чтоб ЗУ получало информацию от аккумулятора о его ЭДС, чтоб автоматически прекратить процесс заряда по достижении 13,8V ? Большой импульсный ток заряда создавал падение напряжения на заряжающих проводах 0,4…1 Вольт, а напряжение, соответствующее моменту окончания заряда надо было получать с точностью до 0,1В во время паузы! Я стал мудрить прерывания. Но всё оказалось гениально просто: ЗУ выдаёт не постоянный ток, а импульсы с частотой 100 Гц (двух-полупериодный выпрямитель промышленной частоты 50Гц). Через каждые 10 миллисекунд ток из ЗУ прекращается. И в эти моменты мой измеритель, встроенный в ЗУ-корпус, мерял ЭДС аккумулятора. Достигло ЭДС 13,8 Вольт - заряд приостановить (чтоб электролит не выкипал)! Отстыковал пользователь аккумулятор или закоротил концы нечаянно - выдачу энергии прекратить! Энергия выдаётся только при правильно-подключенном аккумуляторе! Я добавил "защиту от дурака", заменил обычную эл-вилку на выходе ЗУ на большие "крокодилы" (под размер аккумулятор-клемм), чтоб пользователь не мог подать ~220V на выход ЗУ. И моё ЗУ стало необслуживаемым и несгораемым! =Удачи!