Здравствуйте, dasha.com!
Вот Вам реализация вычисления суммы ряда, что дает синус угла
Значения угла и количество слагаемых ряда задаются в коде. При желании можете их ввести с консоли.
При вычислении суммы элементов ряда учитывается тот факт, что каждый следующий элемент суммы
может быть получен из предыдущего: в числителе умножением на x²,
в знаменателе факториал - умножением на два следующих целых числа, знак - меняет свой знак на противоположный.
Поэтому введены три промежуточные переменные, которые хранят в себе текущее значение для элемента суммы.
x возводим в квадрат, т.к. каждый элемент надо умножать именно на квадрат икса
Для факториала задействован тип вещественный, т.к. величина очень быстро растет и в целый тип может просто не поместиться.
Для удобства вычисления факториала верхняя граница суммирования приведена к значению 2N+1, а индекс цикла меняется на 2
Для сравнения также выводится значение и библиотечной функции синус.
[code h=200]
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>

#define PI 3.1415926535897932384626433832795

double sin(double x, int N)
{
int i;
int sign = 1; //знак слагаемого в сумме
double factorial = 1; //факториал в знаменателе слагаемого
double sum = 0; //значение суммы ряда
double g = x; //элемент суммы - x в степени (2n+1)
x *= x; //возведем в квадрат для нахождения очередного члена ряда

N = 2*N+1; //для удобства определения конца суммирования

for(i=1; i<=N; i+=2) //по всем элементам суммы
{
sum += sign*g/factorial;//вычисляем и складываем очередной элемент суммы
//готовимся к следующей итерации
sign *= -1; //чередуем знак
g *= x; //умножаем элемент суммы на x в квадрате
factorial *= (i+1)*(i+2);//а факториал на два следующих числа
}

return sum; //возвращаем сумму ряда - значение синуса
}

int main()
{
int N = 4; //задаем 5 элементов суммы [0;4]
double x = PI/4; //будем считать sin(x)

//выводим значение суммы ряда и, для сравнения, библиотечного синуса
printf(" our sin(%g) = %.16g\nlibrary's sin(%g) = %.16g\n", x, sin(x, N), x, sin(x));

return 0;
}
[/code]