Здравствуйте, Анна Витальевна!
Введём декартову прямоугольную систему координат, поместив её центр в точке пересечения диагоналей нижнего основания прямоугольного параллелепипеда, ось абсцисс направим параллельно одной из сторон этого основания. В этой системе координат вершина параллелепипеда, расположенная в первом октанте координатного пространства, имеет координаты
а объём параллелепипеда выражается формулой
Интуиция, основанная на "соображениях симметрии", подсказывает, что в основании параллелепипеда должен быть квадрат. Чтобы убедиться в этом, перейдём к сферическим координатам по формулам
и преобразуем формулу (1):
Имеем
учитывая, что в нашем случае
из необходимого условия экстремума функции двух переменных (в нашем случае это
и
) получим
В этом случае
(то есть интуитивные соображения оказались верными).
Чтобы не быть вынужденными решать тригонометрические уравнения и выполнять громоздкие вычисления, вернёмся обратно к прямоугольной системе координат. Рассматривая сечение конуса плоскостью, проходящей через указанную выше вершину и ось конуса, найдём, что
или, с учётом формулы (1),
Нули производной функции (2) по переменной
совпадают с нулями производной функции
Найдём их:
первый нуль производной
соответствует минимуму функции
а второй нуль
её максимуму, что очевидно из "геометрических соображений". В этом можно убедиться и формально, определив знак второй производной при найденных значениях
Значит, максимальному объёму параллелепипеда соответствуют значения
а
искомый объём равенили
объёма конуса
Вам предстоит проверить выкладки во избежание ошибок.
С уважением.
Об авторе:
Facta loquuntur.