Здравствуйте, Посетитель - 399040!

Будем исходить из определения:
Проекция точки х на множество U есть точка y [$8712$]U, такая, что расстояние ||x -y|| минимально.

Задача 50

L²(0,п) - бесконечномерное евклидово пространство функций со скалярным произведением:

u*v = [$8747$]u(x)*v(x)dx, где интеграл берется в пределах от 0 до п (пи),

и нормой:

||u|| = [$8730$](u*u)

Данное в задаче множество U представляет собой точки шара ||u|| [$8804$]1, расположенные не выше плоскости a*u = 1, где

a = sin(x/2).

Определяя проекции точки

b = 3*sin(x)

на сферу и на плоскость, можно убедиться, что первая проекция b₁ лежит выше плоскости, а вторая b₂ за пределами шара, как показано на рисунке. Обозначим y проекцию точки b на множество U и будем искать соответствующий вектор в виде линейной комбинации векторов a и b:

y = [$945$]*a + [$946$]*b. (1)

Задача двумерна, и ничем не отличается от обычной геометрической задачи, показанной на рисунке. Нетрудно убедиться, что ближайшей к b точкой множества U будет точка y, лежащая на пересечении сферы и плоскости, т.е., такая, что

||y||² = 1, a*y = 1

(Для доказательства можно воспользоваться теоремой Пифагора и теоремой косинусов.) Подставляя в эти формулы (1) и вычисляя интегралы, получим уравнения:

(1/2)*п*[$945$]+4*[$946$]=1, (1/2)*п*[$945$]²+(9/2)*п*[$946$]²+8*[$945$]*[$946$]=1,

которые легко решаются. Система имеет два решения. Точные выражения громоздки, приведу только приближенный численный ответ:

([$945$] = 1.4089, [$946$] = -0.3033), ([$945$] = -0.1356, [$946$] = 0.3033)

Правильное решение второе, в этом можно убедиться, вычисляя квадрат расстояния ||b - y||² между точками b и y, т.е. (с приближенными значениями констант):

y = -0.1356*sin(x/2) + 0.9099*sin(x).



Задача 51

Для точки x, проекцию которой требуется найти, вычислим сумму [$8721$]x_k² по k от 2 до [$8734$].
Эта сумма не зависит от расстановки знаков и равна:
1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ... = (1/4)*(1+1/4+1/16+1/64+..) = (1/4)*(1/(1-1/4)) = 1/3 < x₁ = 1.
Мы видим, что точка x при любой комбинации знаков принадлежит множествам X₁ и X₂.
Следовательно, она совпадает со своей проекцией.