Наверное, сначала нужно установить, какой вид имеют одночлены, произведением которых является многочлен сотой степени, удовлетворяющий условию задачи. Как я понимаю, одночлены имеет вид где Тогда ответом будет число 101. Остаётся доказать правильность ответа. При моём не очень высоком уровне математической культуры с доказательством я испытываю определённые проблемы...

Все правильно!
В интервал попадают только x=1 и x=2
Приведенные многочлены будут иметь вид: (x-1)⁰(x-2)¹⁰⁰, (x-1)¹(x-2)⁹⁹, ..., (x-1)¹⁰⁰(x-2)⁰
Всего 101 вариант Какие еще нужны доказательства?

Надо только доказать, что из того, что коэффициенты целые, следует, что и корни целые

Есть множество уравнений с целыми ко-ми, у которых корни не целые. У квадратных, например, выражения с корнем.

Надо только доказать, что из того, что коэффициенты целые, следует, что и корни целые

Вовсе не следует. Асмик Александровна привела пример.

Да, именно. Мои рассуждения в начале форума дают ответ только на вопрос о количестве многочленов с целочисленными корнями. Придётся поразмышлять над главой об алгебре многочленов...

Интересно, откуда эта задача?

Я предлагаю рассмотреть квадратичные трёхчлены, у которых сумма и произведение корней являются целыми числами. В нашем случае сумма корней может быть равна числам -1, -2, -3, -4, -5, а произведение находится из условия неотрицательности дискриминанта.

В своих выкладках я пришёл к тому, что для решения задачи представляют интерес следующие квадратичные трёхчлены:





Надеюсь, не ошибся.

С учётом уже написанного мной в предыдущих сообщениях о линейном двучлене, требуется разобраться с третьим квадратичным трёхчленом. Сколькими способами он может входить в разложение многочлена сотой степени?

Да.... Есть над чем поломать голову ....

С диофанта. Еще 2013 года. Но мне так и не удалось ее решить.

Я думаю, что мы вплотную приблизились к ответу на поставленный вопрос. Прочитайте, пожалуйста, моё сообщение № 8 в этом мини-форуме.

Нужно найти число разбиений на 3 слагаемые, из которых третье четное? А если есть кубические многочлены, имеющие 3 корня на 03(

Кубический многочлен должен иметь три действительных корня. Тогда он представим в виде произведения трёх линейных двучленов...

Что касается разбиений числа 100, то да.

Таки да. 2601 - правильный ответ.

Таки да. 2601 - правильный ответ.

Не считал. Попробую на досуге...

Ну это просто. 101+99+97...+1=51^2
99- если есть один наш двучлен.

Я сейчас занят проверкой студенческих работ. Считать буду только те многочлены, в разложении которых присутствует квадратный трёхчлен, выделенный нами отдельно. Должно насчитаться 2500 многочленов, судя по указанному Вами ответу. 101 многочлен был насчитан раньше...

Обобщая, рассмотрим разложения многочлена сотой степени, имеющие вид

с целочисленными неотрицательными показателями
Имеется
- многочлен при
- многочленов при
- многочленов при
-
- многочлена при
- многочлен при
Всего многочлен, в чём можно убедиться используя формулу для суммы членов арифметической прогрессии.

Значит, ответом задачи является число

Все хорошо, только не хватает доказательства, что кроме этих 2601 нет других.
Попробовал подобрать многочлен 3-ей степени. Не удалось, зато нашелся с корнями в интервале (0,4):
x^3 - 5*x^2 + 6x - 1.
Интересно, откуда число 3 в условии? Было бы понятно, если бы удалось доказать, например, что-нибудь вроде этого:
Целочисленный многочлен n-ой степени с n корнями, лежащими в интервале (0,n), разлагается в произведение целочисленных многочленов меньшей степени.

А вот еще интересная задача
На сторонах квадрата выбраются случайным образом 3 точки. Найдите вероятность того, что центр квадрата находится внутри треугольника, построенного по выбранным точкам.

Формулы Виета можно использовать

Про возможную потребность в доказательствах я упомянул в своём ответе. Мне не хочется тратить остаток своих дней на математически строгое решение подобных задач, не будучи профессиональным математиком. Если у Вас есть чёткое видение, Вы можете дать своё решение без логических изъянов.