Здравствуйте, bolrunoff-kati!
Подведём итоги обсуждения в мини-форуме.
Во-первых, нельзя просто разделить уравнение на одну из переменных или иное выражение, способное обращаться в ноль - это чревато потерей корней.
Рассмотрев также возможность x₂=0, находим ещё 2 стационарные точки

Также необходимо исправить выражение смешанной производной
d²y/dx₁dx₂=d(dy/dx₁)/dx₂=d(8x₁x₂+24x₂)/dx₂=8x₁+24

В результате внесения правок получено решение:

В таком варианте расчёт произведён верно, однако выводы из этих результатов требуется изменить:
[$916$]>0 - экстремум доказан, но знак его определяется знаками вторых производных. Точка A(-3;2) является минимумом, поскольку вторые производные по обеим координатам положительны.
[$916$]<0 - это не экстремум. Легко также заметить, что в окрестности линии x₂=0 вторая производная по x₁ меняет знак, чего в точках экстремума быть не должно. Найденные на этой линии стационарные точки экстремумами не являются, в их окрестности можно обнаружить точки со значениями функции, как большими, так и меньшими значения в этой точке.

В результате найден единственный экстремум в точке А(-3,2), являющийся локальным минимумом.