Здравствуйте, fridge!
1. По заданному уравнению устанавливаем коэффициенты:
составляем матрицу квадратичной функции:
матрицу квадратичной формы:
столбец коэффициентов линейной формы:
2. Составляем характеристическое уравнение и решаем его:
Вычисляем инвариант:
(Чтобы не ошибиться при расчёте, проводим его с помощью MS Excel.)
3. Т. к.
то заданное уравнение является уравнением параболы.
4. Нумеруем корни характеристического уравнения:
5. Находим взаимно ортогональные собственные направления
соответствующие корням
характеристического уравнения. Т. к. корни простые, то находим ненулевые решения
систем
- для
При этом
- в качестве собственного направления
берём ненулевой столбец, пропорциональный первому столбцу матрицы
Определяем координатные столбцы векторов
канонического базиса:
6. Находим координаты
начала
канонической системы координат. Т. к. линия является параболой, вычисляем
Составляем и решаем систему уравнений:
Получаем
Следовательно,
т. е. начало канонической системы координат совпадает с началом исходной системы координат.
7. Вычисляем коэффициент канонического уравнения параболы:
Значит, каноническое уравнение заданной линии (параболы) имеет вид
8. На координатной плоскости
(с осями исходной системы координат) изображаем каноническую систему координат
с базисными векторами
9. В канонической системе координат строим параболу
График, нуждающийся в доработке по п. 8 приведенного решения есть
здесь. Доработка проста: нужно изобразить базисные векторы и провести через них оси. Базисные векторы определяют положительные направления соответствующих осей.
С уважением.
Об авторе:
Facta loquuntur.