Здравствуйте, Трошков Владимир!

Примерно так:
[code h=200]#include <iostream>
#include <math.h>

using namespace std;

int main()
{
// Задаютя начальные значения (по условиям задачи
double a=0.1,b=0.8,E=0.0001;
int n=10;
// Вычисляется шаг
double dx=(b-a)/10;
// Для красоты
cout << "x f f_n f_E\n";
// Цикл for с индексом x, начинающимся от a,
// увеличивающимся на каждом шаге на dx, пока не превысит b
for (double x=a; x<=b; x+=dx)
{
// Точное значение f(x)
double f=x*atan(x) - log(sqrt(1+x*x));
cout << x << ' ' << f << ' ';
// Начальное значение для суммы ряда
f=0;
// Переменная предназначенная для вычисления x в степени 2n
double x_2n=1;
// Переменная предназначенная для получения +1/-1
int ke=-1;
// Перебираем i от 1 до n
for (int i=1; i<=n; i++)
{
// домножаем на x в квадрате и -1
x_2n *= x*x;
ke *= -1;
// Вычисляем слагаемое и добавляем к сумматору
f += ke*x_2n/(2*i)/(2*i-1);
}
// Сумма ряда для заданного n готова
cout << f << ' ';
// Заданово задаем начальные значения переменных
x_2n=1;
ke=-1;
f=0;
int i=1;
// Слагаемое надо будет вычислять в отдельной переменной
// т.к. по ней задаётся условие выхода
double fi;
do
{
// Те же самые вычисления
x_2n*=x*x;
ke*=-1;
fi=ke*x_2n/(2*i)/(2*i-1);
f+=fi;
i++;
// Для цикла while задаётся условие продолжения
// поока очередное слагаемое суммы ряда больше E
} while (fabs(fi)>E);
cout << f << endl;
}
return 0;
}
[/code]

Здравствуйте, Трошков Владимир!
Вот мой вариант программы...
[code h=200]
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main()
{
double e = 0.0001; //погрешность
double a = 0.1; //начальное Х
double b = 0.8; //конечное Х
int k = 10; //количество интервалов по Х
int n = 10; //фиксированное число итераций
int i1, i2, i3; //переменные для циклов
double h = (b-a)/k; //шаг по Х
double x; //текущий Х
double xn; //накапливаемый Х для очередного сложения в итерациях
double sn; //один элемент ряда
double S1; //сумма ряда из n элементов
double S2; //сумма ряда, пока очередной элемент больше погрешности
double f; //точное значение функции

for(i1=0; i1<=k; i1++) //цикл по Х
{
x = a + i1*h; //очередное значение Х
f = x*atan(x)-log(sqrt(1+x*x)); //точное значение функции

for(S1=0,xn=-1,i2=1; i2<=n; i2++) //цикл суммирования ряда из n элементов
{ //сумма S1 в начале = 0, а частичное значение элемента ряда = -1
xn *= -x*x; //накапливаемое частичное значение элемента ряда
S1 += xn/((2*i2)*(2*i2-1)); //суммирование элемента ряда
}

for(S2=0,xn=-1,sn=1,i3=1; fabs(sn)>=e; i3++)//цикл суммирования ряда пока модуль элемента ряда >= e
{ //сумма S2 в начале = 0, а частичное значение элемента ряда = -1
//sn = 1, чтобы было справедливо условие fabs(sn)
xn *= -x*x; //накапливаемое частичное значение элемента ряда
sn = xn/((2*i3)*(2*i3-1)); //значение элемента ряда, сохраняем в переменной, чтобы потом сравнить с е
S2 += sn; //суммирование элемента ряда
}
//выводим полученные результаты:
//значение функции f(x), сумма ряда S1, сумма ряда S2,
// (в скобках количество просуммированных элементов)
//а также разность S1-f и S2-f
//в конце строки не ставим код перехода на новую строку(\n),
//т.к. строка заполняется до самого конца и
// переход на начало следующей строки осуществится автоматически
printf("f(%#.2g)=%#9.7f, S1(%d)=%#9.7f, S2(%d)=%#9.7f, e1=%3.2e, e2=%3.2e",
x, f, i2-1, S1, i3-1, S2, fabs(S1-f), fabs(S2-f));
}

return 0;
}
[/code]