Как бы Вы решали такую задачу на плоскости?

Я конечно догадываюсь, что случай в пространстве аналогичен варианту для плоскости.

Точку В, можно найти из пересечения прямых биссектрисы и высоты.

Но вот как остальные 2 точки искать, сообразить не могу, т.к. про АВ и АС мы ничего не знаем. По идее можно как-то использовать то, что
мы знаем уравнение высоты и соотв. можем найти уравнение прямой основания АС, как прямой перпендикулярной данной. На плоскости это выглядит через обратный угловой коэффициент, но как это будет в пространстве не понимаю.

В пространстве труднее искать уравнения прямых, но суть задачи не меняется. Недостающие данные, по-видимому, нужно извлечь из величины площади треугольника и того, что он прямоугольный.

Есть над чем подумать в этой задаче, если решаешь её впервые...

Если не секрет, откуда эта задача?

Я не случайно задал Вам вопрос об источнике задачи. Если Вы умеете выполнять преобразования координат в пространстве, то можно превратить задачу из пространственной в плоскую. Хотя не исключено, что это не нужно делать.

К сожалению ничего не получается. Преобразование координат не могу сообразить как сделать. Мы не изучал.
Задание из линейной алгебры и аналитической геометрии 1 курс 1й семестр.

Для начала найдите точку В

из пересечения прямых биссектрисы и высоты

Если не ошибаюсь, после того, как Вы выведете координаты точки B, нужно будет вывести координаты нормального вектора плоскости, в которой расположен треугольник.

По какому учебнику Вы изучаете аналитическую геометрию?

Точку В нашли.
дальше была мысль найти уравнение плоскости треугольника (тоже нашли)
дальше - остаётся 6 неизвестных - Xa,Xb,Xc и Xc,Yc,Zc
идея - нужно 6 уравнений для системы.
1. т.к. треугольник прямоугольный, то пифагор длины BA^2 + BC^2 = AC^2
2. т.к. треугольник прямоугольный, вектора катетов BA * BC их скалярое = 0
3. т.к. есть высота, то берём любую точку на ней отличную от B (скажем F) и BА * АC их скалярое = 0
4. Точка A - удовлетворяет уравн плоскости треугольника (его нашли)
5. Точка С - удовлетворяет уравн плоскости треугольника
6. нам дана площадь. также она равна половине векторного произведения катетов.

все 6 уравнения выражаем через координаты точек.
подставляем координаты точки В. получаем систему из 6 уравнений с 6ю неизвестными.

но это просто нереально решить как оказалось

+ Пифагор и скалярое BA * BC = 0 оказались в итоге одним и тем же уравнеинем.
так что всего 5 уравнений получается.

нужен какой-то другой подход, но идеи закончились.

Потом, наверное нужно найти уравнения катетов. Прямые, содержащие катеты треугольника, находятся как линии пересечения плоскости треугольника и плоскостей, расположенных под углом 45 градусов к плоскости, перпендикулярной плоскости треугольника и содержащей его биссектрису.

В нашем распоряжении есть данные о площади всего прямоугольного треугольника, формулы площади треугольника через произведение катетов и произведение гипотенузы на высоту...

Если чего-то не хватает, то нужно посмотреть в учебнике по планиметрии про отношения между отрезками в прямоугольном треугольнике.

Ну и последнее, точка D покажет с какой стороны от точки В находится треугольник.

После раздумий я пришёл к следующему алгоритму решения задачи (в "плоской" постановке):
1) вычисляем координаты точки B;
2) через точку B проводим прямую, содержащую биссектрису прямого угла;
3) от прямой, содержащей биссектрису прямого угла, в разные полуплоскости от неё проводим прямые, содержащие стороны прямого угла;
4) через точку B проводим прямую, содержащую высоту;
5) через точку D проводим прямую, параллельную гипотенузе треугольника (эта прямая перпендикулярна прямой, содержащей высоту);
6) вычисляем координаты точек пересечения прямой, проведённой в п. 5, с прямыми, содержащими стороны прямого угла;
7) находим расстояния между точкой B и прямой, проведённой в п. 5, а также между точками, найденными в п. 6;
8) по данным, полученным в п.7, находим площадь полученного треугольника;
9) находим отношение площади полученного треугольника к заданной площади (по логике условия задачи оно должно быть меньше единицы);
10) извлекаем квадратный корень из отношения, полученного в п. 9, и находим на продолжении отрезка BD за точку D координаты основания высоты, опущенной на гипотенузу искомого треугольника;
11) через найденное основание высоты проводим гипотенузу искомого треугольника;
12) находим координаты точек пересечения гипотенузы, полученной в п. 11, с прямыми, содержащими стороны прямого угла.

Долгое и нудное решение...