Здравствуйте, nal_0786!
Если предлагается воспользоваться методами, используемыми при анализе функции и построении графика, то корень, видимо, нужно найти методом касательных.
Обозначим g(x)=f(x)+f(x-1)f(x+8)=log₂x+log₂(x-1)[$183$]log₂(x+8)
производная g'(x)=f'(x)+f'(x-1)f(x+8)+f(x-1)f'(x+8)=1/ln2[$183$](1/x+log₂(x+8)/(x-1)+log₂(x-1)/(x+8))

Сначала отметим, что функция определена только при x>1 и её предел
lim_x[$8594$]1g(x)=-[$8734$]
с другой стороны, при x[$8805$]2 все логарифмы заведомо неотрицательны и функция заведомо положительная и возрастающая
учитывая, что функция непрерывна по всей области определения, очевидно, что корень находится в промежутке (1, 2)

Корень можно примерно найти с помощью метода касательных:
В качестве начальной точки можно взять x₀=2
Находим значение и производную:
g(x₀)=1
g'(x₀)=5,51
в линейном приближении корень может быть найден как
x₁=x₀-g(x₀)/g'(x₀)=1,8186
найдём значения функции и производной
g(x₁)=-0,0886
g'(x₁)=6,56

Для большей точности проведём ещё 2 итерации
x₂=x₁-g(x₁)/g'(x₁)=1,83214
g(x₂)=-0,00063
g'(x₂)=6,465

x₃=x₂-g(x₂)/g'(x₂)=1,832240
g(x₃)=-3,2[$183$]10^-8
g'(x₃)=6,465
Погрешность на этом этапе составляет уже лишь около 5[$183$]10^-9
На этом и остановимся
x=1,832240