Здравствуйте, Посетитель - 399202!

Пусть при изготовлении смеси используется x[sub]1[/sub] кг первого сырья и x[sub]2[/sub] кг второго сырья (эти величины должны быть неотрицательными). Тогда смесь будет содержать вещества В1, В2, В3 в количествах 2x[sub]1[/sub]+x[sub]2[/sub], 4x[sub]1[/sub] и 2x[sub]1[/sub]+2x[sub]2[/sub] единиц, которые должны быть не меньше 14, 12 и 20 единиц соответственно, стоимость смеси будет равна 2x[sub]1[/sub]+x[sub]2[/sub] и требуется установить, при каких x[sub]1[/sub] и x[sub]2[/sub] она будет наименьшей.

Таким образом, имеем задачу линейного программирования: необходимо найти минимальное значение целевой функции F = 2x[sub]1[/sub]+x[sub]2[/sub] [$8594$] min при системе ограничений:
2x[sub]1[/sub]+x[sub]2[/sub][$8805$]14,
4x[sub]1[/sub][$8805$]12,
2x[sub]1[/sub]+2x[sub]2[/sub][$8805$]20,
x[sub]1[/sub][$8805$]0,
x[sub]2[/sub][$8805$]0.

Решение данной задачи графическим методом:

1. Построим область допустимых решений, то есть решим графически систему неравенств. Для этого построим соответствующие прямые и определим полуплоскости, заданные неравенствами:


2. Пересечением полуплоскостей будет область, координаты точек которой удовлетворяют системе неравенств задачи. Обозначим границы этой области:


3. Рассмотрим целевую функцию задачи F = 2x[sub]1[/sub]+x[sub]2[/sub] [$8594$] min. Построим прямую, отвечающую значению функции F = 2x[sub]1[/sub]+x[sub]2[/sub] = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление минимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (2; 1). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Нам требуется минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области (на графике эта прямая обозначена пунктирной линией):


Прямая F(X) = const пересекает область в точке A, являющейся пересечением прямых 2x[sub]1[/sub]+x[sub]2[/sub]=14 и 4x[sub]1[/sub]=12, поэтому координаты точки удовлетворяют системе:
2x[sub]1[/sub]+x[sub]2[/sub]=14,
4x[sub]1[/sub]=12
решение которой даёт x[sub]1[/sub] = 3, x[sub]2[/sub] = 8 и минимальное значение целевой функции F(X) = 2[$183$]3 + 1[$183$]8 = 14.

Поскольку целевая функция F(X) параллельна прямой 2x[sub]1[/sub]+x[sub]2[/sub], то на отрезке AB она будет принимает одно и тоже минимальное значение.

Аналогично, координаты точки B являются решением системы уравнений:
2x[sub]1[/sub]+x[sub]2[/sub]=14,
2x[sub]1[/sub]+2x[sub]2[/sub]=20
и равны x[sub]1[/sub] = 4, x[sub]2[/sub] = 6.