Метод решения произвольный либо по заданной методике? Если ДА, то по какой?
Как трактовать избыточн незакрытые скобки левее COS ?
За некачественный Вопрос Вы получите неправильный Ответ, не так ли?

Как задание звучит, так я его и написала, по какой методике не написано.
Это система, я не умею пользоваться формулами которые даны на сайте.

Такая система?

А как оформлять формулы - учитесь!
Вы зарегистрировались экспертом в математической рассылке, без написания формул Вам не обойтись...

да, спасибо

Для проверки правильности написания формул можно использовать тестовый форум

Поскольку конкретная цель Вашей задачи не оговорена, будем считать, что нам достаточно получить конечный результат, а именно: корни X и Y системы уравнений
Cos(X) + Y =1,2189
2 * X + X * Y = 0,5625
Точность 0,1 - я так понимаю - это абсолютная (а не %) макси-погрешность м-ду значениями левой и правой частью каждого из уравнений.
Я буду решать эту задачу так, как если бы она попалась мне в моей инженерной практике (поскольку другую, учебную методичку Вы не указали) с единственным отличием: заменим более быстрый Метод Ньютона (метод касательных) на более простой, указанный Вами "методом простых итераций".

Заменим систему уравнений на одиночное уравнение, чтобы вдвое уменьшить трудоёмкость решения. Из верхнего уравнения получим
Y=1,2189-Cos(X)
и подставим это значение в нижнее уравнение:
2*X + X * (1,2189 - Cos(X)) = 0,5625
Переместим все члены (элементы) уравнения в одну часть, и будем искать X-значения (корни), при которых функция
F(x)=2*X + X * (1,2189 - Cos(X)) - 0,5625
равна нулю с точностью до 0,1 . При этом ограничим X и Y значения областью от 0 до 1 .

Предположим, что функция F(x) в указанном X-диапазоне имеет несколько 0-значений. Чтоб не потерять 2й (3й?) корень, проанализируем производную этой функции в диапазоне X=[0;1] . Для этого разобъём X-диапазон на достаточно мелкие шаги, в N раз меньшие X-диапазона. Примем N для начала вдвое больше обратной точности: N=2/Точность , то есть N=20 , тогда размер шага будет Step=1/N=0,05 .
Производную будем вычислять приблизительно (мы, ведь, итерируем) , как P(x)=DeltaF / DeltaX . Примем приращение DeltaX=Step/10

X-значения, при которых производная вдруг будет менять свой знак, пометим, как разделитель рабочей X-области. Например, если производная сменит знак при X=0,3 , то мы будем искать не одно решение в диапазоне X=[0;1], а 2 корня в диапазонах X=[0;0,3] и X=[0,3;1].

Все рутинные вычисления мы поручим сценарию, написанному на языке Visual Basic Script , который обладает достаточной мощностью вычислений, простым синтаксом и не нуждается в компиляции. Скрипт можно открыть текстовым редактором, поправить значение (N , Step…), почитать/добавить комментарий, и МатРешатель.vbs сразу готов к следующему запуску.

Вас устраивает такой алгоритм? Надо ли искать возможно-второе/третье решение, либо Вам желательно попроще ограничиться одним найденным XY-корнем без всяких производных и разделения области поиска? Какие будут поправки-предложения?

Здравствуйте! Мне нужно все достаточно просто, из вашего решения я к сожалению ничего не поняла, вы пользуетесь программой, а мне этого не нужно. Спасибо, я сама попробую решить по примерам которые даны в книжках.

Спасибо Вам, что ответили и этим сэкономили моё время.
А программы - это всего лишь набор простеньких команд. Введите в окне Командной строки
Echo Привет, Анна!
Нажмите Enter , и команда исполнится!
Введите туда же слово Dir , и комп послушно выдаст Вам содержимое текущей папки. Впишите эти 2 кмд в текстовый файл, измените его расширение txt на cmd - вот Вам и программа! Зато сколько рутинной работы может сделать Ваша программа вместо Вас! =Удачи Вам!

у меня получилось x=0.25 и y=0.25. Правильно?

Вы написали "я сама попробую решить", и я не стал заниматься Вашей задачей. Переключился на другую.
Проверить Ваш Ответ легко. WinXP-калькулятор переводим в Вид \ Инженерный, взводим Радианы (вместо Градусов), вводим число 0,25 (ч-з зпт) , жмём клавишу Cos , получаем результ 0,9689 . Добавляем к нему 0,25 (Y) , получаем 1,2189 - первое уравнение всё точно!
Для проверки 2го уравнени вводим в калькулятор строку целиком:
(2 * 0,25) + (0,25 * 0,25)=
(калькулятор без скобок не соблюдает приоритет умножения над сложением), получаем 0,5625 .
Значит, Вы нашли верную пару корней. С высокой вероятностью мож предположить, что это единственно-верное решение, и второй пары корней нет в указанном диапазоне. Но в математике, наверное всё надо доказывать?