Здравствуйте, Евгений Капустин!
y^''-9y^'+20y=x^2 e^4x
Искомое решение имеет вид:
y(x)=y ̅(x)+y^* (x)
Составим характеристическое уравнение:
k^2-9k+20=0
Его корни равны:
k_1=4 и k_2=5
Следовательно, общее решение имеет вид:
y ̅(x)=C_1 e^4x+C_2 e^5x
y^* (x) выберем в виде:
y^*=Axe^4x+Bx^2 e^4x+Cx^3 e^4x
Находим производные:
y^' (x)=Ae^4x+4Axe^4x+4Bx^2 e^4x+2Bxe^4x+3Cx^2 e^4x+4Cx^3 e^4x
y^'' (x)=8Ae^4x+16Axe^4x+2Be^4x+16Bx^2 e^4x+16Bxe^4x+16Cx^3 e^4x+24Cx^2 e^4x+6Cxe^4x
И подставляем в левую часть уравнения:
8Ae^4x+16Axe^4x+2Be^4x+16Bx^2 e^4x+16Bxe^4x+16Cx^3 e^4x+24Cx^2 e^4x+6Cxe^4x-9(Ae^4x+4Axe^4x+4Bx^2 e^4x+2Bxe^4x+3Cx^2 e^4x+4Cx^3 e^4x )+20(Axe^4x+Bx^2 e^4x+Cx^3 e^4x )=x^2 e^4x
e^4x (-A+2B)+(-2B+6C) e^4x x-3Cx^2 e^4x=x^2 e^4x
{█(-A+2B=0@-2B+6C=0@-3C=1)┤
{█(A=-2@B=-1@C=-1/3)┤
y^*=-2xe^4x-x^2 e^4x-1/3 x^3 e^4x
Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:
y(x)=C_1 e^4x+C_2 e^5x-2xe^4x-x^2 e^4x-1/3 x^3 e^4x