Здравствуйте, Барс Иван!

8.
Мощность -- скалярное произведение силы на скорость.
.

Согласно второму закону Ньютона
,
так что
.

Значит искомая мощность есть
.

Здравствуйте, Иван!

18. Если я правильно понимаю, задача сводится к тому, чтобы по известному уравнению

затухающих колебаний и начальным условиям x(0) = 0, x'(0) = v₀ найти функцию x([$969$]₀, [$946$], t, v₀). Тогда задачу можно решить следующим образом

Прежде всего, выполним замену [$969$] = [$8730$]([$969$]₀² - [$946$]²). Правомерность этого показана в теории колебаний.

Далее, из условия x(0) = 0 и формулы (1) следует, что [$945$] = [$177$][$960$]/2 и x = -+a₀e^-[$946$]tsin [$8730$]([$969$]₀² - [$946$]²)t.

Продифференцируем выражение (1):


Из условия x'(0) = v₀ и формулы (2) следует, что x'(0) = v₀ = -+[$969$]a₀ и a₀ = |v₀|/[$8730$]([$969$]₀² - [$946$]²). Следовательно, искомая функциональная зависимость имеет следующий вид:

причём знак "+" относится к случаю v₀ < 0, а знак "-" - к случаю v₀ > 0.

С уважением.

Здравствуйте, Барс Иван!
11. В системе, изображенной на прикреплённом рисунке (или см. тут) блоки имеют одинаковые радиусы и одинаковые массы M = 2*m. Нить невесомая, нерастяжимая, по блокам не скользит. Горизонтальная плоскость гладкая. Найдите линейное ускорение системы.

На систему действует сила веса "правого" на рисунке груза (опускающегося вдоль вертикали вниз), равная F[sub]п[/sub] = 3*m*g. Ей противодействует сила веса "левого" на рисунке груза (поднимающегося вдоль вертикали вверх), равная F[sub]л[/sub] = m*g. Результирующая сила F[sub]р[/sub], равная: F[sub]р[/sub] = F[sub]п[/sub] - F[sub]л[/sub] = 2*m*g (1), сообщает системе линейное ускорение a, преодолевая инерцию 3-х поступательно движущихся грузов суммарной массой m[sub]с[/sub] = m + 2*m + 3*m = 6*m (2) и 2-х вращающихся блоков массой:
M = 2*m каждый; таким образом, здесь мы имеем дело одновремённо с вращающимися и поступательно движущимися телами - случай, немного "экстравагантный" для "чистой" физики, но весьма распространённый в инженерной практике (лебёдки, лифты, подъёмные краны и пр.). Поэтому хитроумные инженеры придумали такой "фокус": для вращающегося тела вычислять эквивалентную ("приведенную") поступательно движущуюся массу, В данном случае, поскольку известно, что окружная скорость в точках соприкосновения поверхности блока с нитью равна скорости V поступательного движения нити и грузов, приведенная масса M[sub]пб[/sub] блока определяется из уравнения: [$969$][sup]2[/sup]*J = V[sup]2[/sup]*M[sub]пб[/sub] (3), где [$969$] = V/R (3а) - угловая скорость блока, J - его момент инерции, R - расстояние от оси вращения блока до точек соприкосновения поверхности блока с нитью. Отсюда получаем: M[sub]пб[/sub] = J/R[sup]2[/sup] (4). Реально при известной массе M блока его момент инерции зависит от конкретной формы. Поскольку в условии о форме блоков ничего не сказано, принимаем простейший случай: блок является сплошным диском радиусом, равным R. Тогда: J = M*R[sup]2[/sup]/2 (5) (см. Википедия, Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей), откуда: M[sub]пб[/sub] = M/2 (5а), т.е. «приведенная» масса вращающегося блока равна половине его реальной массы. Полная «приведенная» масса всей системы: M[sub]пп[/sub] = mс + 2*M/2 = 6*m + 2*(2*m)/2 = 8*m (6). Линейное ускорение системы:
a = Fр/M[sub]пп[/sub] =2*m*g/(8*m) = g/4 = 9.8/4 = 2.45 м/с[$178$]

12. Горизонтально расположенный деревянный стержень массы m = 0.800 кг и длины l =1.80 м может вращаться вокруг перпендикулярной к нему вертикальной оси, проходящей через его середину. В конец стержня попадает и застревает в нем пуля массы m' =3.00 г, летящая перпендикулярно к оси и к стержню со скоростью v = 50.0 м/c. Определите угловую скорость [$969$], с которой начинает вращаться стержень, и потери кинетической энергии системы стержень-пуля.

Импульс летящей пули I' = m'*v (1). Попадая в конец стержня на расстоянии l/2 от оси, проходящей через его середину и застревая в нем, пуля сообщает системе стержень-пуля момент импульса L[sub]о[/sub] = I'*l/2 (2), который разделяется на 2 части: момент импульса самого стержня: L[sub]с[/sub] = [$969$]*J (2а), где J - момент инерции стержня, и оставшийся момент импульса пули:
L' = [$969$]*m'*(l/2)[sup]2[/sup] (2б). Учитывая при этом, что J = m*l[sup]2[/sup]/12 (3) (см. Википедия, Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей), имеем, на основании закона сохранения момента импульса:
[$969$]*(m*l[sup]2[/sup]/12 + m'*l[sup]2[/sup]/4) = m'*v*l/2 (4), откуда: [$969$] = 2*(v/l)*m'/(m/3 + m') (5). Кинетическая энергия летящей пули:
E' = m'*v[sup]2[/sup]/2 (6). Кинетическая энергия системы стержень-пуля после соударения: E = [$969$][sup]2[/sup]*(m*l[sup]2[/sup]/12 + m'*l[sup]2[/sup]/4)/2 (7), или,
подставляя (5), после сокращений: E = (m'*v[sup]2[/sup]/2)*m'/(m/3 + m') (7а), а сопоставляя с (6): E = E'*m'/(m/3 + m') (8).
Потери кинетической энергии системы стержень-пуля: [$916$]E = E' - E = m'*v[sup]2[/sup]/2*[size=3]([/size]1 - m'/(m/3 + m')[size=3])[/size] (9). В числах:
[$969$] = 2*(50/1.80)*0.003/(0.800/3 + 0.003) = 0.618 рад/с. [$916$]E = 0.003*50[sup]2[/sup]/2*[size=3]([/size]1 - 0.003/(0.800/3 + 0.003)[size=3])[/size] = 3.708 Дж