Здравствуйте, Пучнин Алексей Александрович!
(1)
(2)
(3)

Решаем методом разделения переменных.
u(x,t)=X(x)T(t). (4)
Подставляя (4) в уравнение (1) и разделяя переменные, получим:

Отсюда приходим к выводу, что функции X(x) и T(t) удовлетворяют, сооответственно, обыкновенным дифференциальным уравнениям:
X''+[$955$]²X=0, (5)
T''+36[$955$]²T=0. (6)
Подставляя (4) в граничные условия (2), получим:
X(0)=0, X'(3)=0. (7)
Решая задачу Штурма-Лиувилля (5), (7), находим:
X(x)=Acos[$955$]x+Bsin[$955$]x.
X(0)=0 [$8658$] A=0.
X'(3)=0 [$8658$] B[$955$]cos3[$955$]=0 [$8658$]
Итак, собственные значения задачи Штурма-Лиувилля: ,
собственные функции (с точностью до множителя).
Уравнение (6) имеет общее решение .
Подставляя , получим:
.
Решением линейного однородного уравнения (1) будет функция, представляющая собой сумму частных решений u_k(x,t)=X_k(x)T_k(t),
и определяемая рядом

Найдем константы C_1k и C_2k из начальных условий (3):
(8)

(9)
Система собственных функций {sin((2k+1)pi x/6)} ортогональна на интервале (0,3), причем квадрат нормы собственной функции

Рассматривая в равенстве (8) C_1k как коэффициенты разложения функции f(x)=3-x в ряд Фурье на интервале (0,3), находим:



Из (9) находим
Таким образом, искомое решение смешанной задачи есть

Здравствуйте, Пучнин Алексей Александрович!
Второй вопрс
Находим собственные функции и собственные значенимя однородного уравнения
u_t=9u_xx
Полагаем u=T(t)X(x), получаем
T'X=9TX''
T'/9T=X''/X=[$955$] [$8658$] T'=9[$955$]T; X''=[$955$]X
Условия u(0,t)=u(3,t)=0 дают X(0)=X(3)=0
Получаем задачу Штурма-Лиувилля
X''=[$955$]X, X(0)=0, X(3)=0
Ее решение [$955$]_n=-(pi*n/3)², X_n=sin(n*pi*x/3)

Далее решение исходной задачи ищем в виде ряда Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля
u(x,t)=[$8721$]_n=1^[$8734$]T_n(t)X_n(x)
Подставляя в уравнение, получаем
[$8721$]_n=1^[$8734$]T'_nX_n=9[$8721$]_n=1^[$8734$][$955$]_nT_nX_n+[$8721$]_n=1^[$8734$]f_nX_n
где f_n - коэффициенты Фурье функции f(x,t)=x(1-e^-3t)
Это дает нам дифференциальное уравнение T'_n=9[$955$]_n+f_n
Из начального условия u(x,0)=0 получаем, что T_n(0)=0
Таким образом, функция T_n является решением задачи Коши
T'_n=9[$955$]_nT_n+f_n
T_n(0)=0
По формулам из курса обыкновенных дифференциальных уравнений находим, что
T_n(t)=[$8747$]₀^tf_n([$958$])exp[9[$955$]_n(t-[$958$])]d[$958$]

Вычисляем
f_n(t)=(2/3)[$8747$]₀³x(1-e^-3t)sin(n*pi*x/3)dx=(2/3)(1-e^-3t)[-(3x/pi*n)cos(n*pi*x/3)+(9/pi²n²)sin(n*pi*x/3)]₀³=6(-1)ⁿ⁺¹(1-e^-3t)/(pi*n)
Следовательно,
T_n(t)=6(-1)ⁿ⁺¹/(pi*n)[$8747$]₀^t(1-e^-3[$958$])e^{-(pi^2n^2(t-[$958$]))}d[$958$]=6(-1)ⁿ⁺¹/(pi*n)e^{(-pi^2n^2)t}[(e^{(pi^2n^2)t}-1)/(pi^2n^2)-((e^{(pi^2n^2-3)t}-1)/(pi^2n^2-3))]
Решение задачи
u(x,t)=[$8721$]_n=1^[$8734$]T_n(t)sin(n*pi*x/3)