22.09.2017, 04:05 [+3 UTC]
в нашей команде: 2 124 чел. | участники онлайн: 0 (рекорд: 21)

:: РЕГИСТРАЦИЯ

:: консультации

:: задать вопрос

:: все разделы

:: правила

:: новости

:: участники

:: доска почёта

:: форум

:: блоги

:: поиск

:: статистика

:: наш журнал

:: наши встречи

:: наша галерея

:: отзывы о нас

:: поддержка

:: руководство

Версия системы:
7.41 (25.02.2017)

Общие новости:
23.02.2017, 09:51

Форум:
21.09.2017, 12:28

Последний вопрос:
19.09.2017, 11:37

Последний ответ:
21.09.2017, 10:04

Последняя рассылка:
21.09.2017, 21:15

Писем в очереди:
0

Мы в соцсетях:

Наша кнопка:

RFpro.ru - здесь вам помогут!

Отзывы о нас:
03.11.2009, 14:10 »
машинка
Спасибо Вам огромное! [вопрос № 173919, ответ № 256120]
14.06.2010, 05:48 »
Киселев Сергей
Спасибо за исчерпывающий ответ. [вопрос № 179076, ответ № 262090]
05.02.2010, 15:27 »
Верещака Андрей Павлович
Спасибо огромное [вопрос № 176488, ответ № 259221]

РАЗДЕЛ • Математика

Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

[администратор рассылки: Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор)]

Лучшие эксперты в этом разделе

Гордиенко Андрей Владимирович
Статус: Модератор
Рейтинг: 1555
Михаил Александров
Статус: 6-й класс
Рейтинг: 1405
Лысков Игорь Витальевич
Статус: Старший модератор
Рейтинг: 240

Перейти к консультации №:
 

Консультация онлайн # 187348
Раздел: • Математика
Автор вопроса: Пучнин Алексей Александрович
Отправлена: 16.05.2013, 02:14
Поступило ответов: 2

Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:
Прошу о помощи в решении Уравнения математической физики.
Найти решение u=u(x,t) начально-краевой задачи для гиперболического уравнения в виде обобщенного ряда Фурье.

Состояние: Консультация закрыта

Ответ # 272278 от асяня (Профессор)

Здравствуйте, Пучнин Алексей Александрович!
(1)
(2)
(3)

Решаем методом разделения переменных.
u(x,t)=X(x)T(t). (4)
Подставляя (4) в уравнение (1) и разделяя переменные, получим:

Отсюда приходим к выводу, что функции X(x) и T(t) удовлетворяют, сооответственно, обыкновенным дифференциальным уравнениям:
X''+λ2X=0, (5)
T''+36λ2T=0. (6)
Подставляя (4) в граничные условия (2), получим:
X(0)=0, X'(3)=0. (7)
Решая задачу Штурма-Лиувилля (5), (7), находим:
X(x)=Acosλx+Bsinλx.
X(0)=0 ⇒ A=0.
X'(3)=0 ⇒ Bλcos3λ=0 ⇒
Итак, собственные значения задачи Штурма-Лиувилля: ,
собственные функции (с точностью до множителя).
Уравнение (6) имеет общее решение .
Подставляя , получим:
.
Решением линейного однородного уравнения (1) будет функция, представляющая собой сумму частных решений uk(x,t)=Xk(x)Tk(t),
и определяемая рядом

Найдем константы C1k и C2k из начальных условий (3):
(8)

(9)
Система собственных функций {sin((2k+1)pi x/6)} ортогональна на интервале (0,3), причем квадрат нормы собственной функции

Рассматривая в равенстве (8) C1k как коэффициенты разложения функции f(x)=3-x в ряд Фурье на интервале (0,3), находим:



Из (9) находим
Таким образом, искомое решение смешанной задачи есть



Консультировал: асяня (Профессор)
Дата отправки: 17.05.2013, 19:57

Рейтинг ответа:

0

[подробно]

Сообщение
модераторам

Отправлять сообщения
модераторам могут
только участники портала.
ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
регистрация »

Ответ # 272280 от Орловский Дмитрий (Мастер-Эксперт)

Здравствуйте, Пучнин Алексей Александрович!
Второй вопрс
Находим собственные функции и собственные значенимя однородного уравнения
ut=9uxx
Полагаем u=T(t)X(x), получаем
T'X=9TX''
T'/9T=X''/X=λ ⇒ T'=9λT; X''=λX
Условия u(0,t)=u(3,t)=0 дают X(0)=X(3)=0
Получаем задачу Штурма-Лиувилля
X''=λX, X(0)=0, X(3)=0
Ее решение λn=-(pi*n/3)2, Xn=sin(n*pi*x/3)

Далее решение исходной задачи ищем в виде ряда Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля
u(x,t)=∑n=1Tn(t)Xn(x)
Подставляя в уравнение, получаем
n=1T'nXn=9∑n=1λnTnXn+∑n=1fnXn
где fn - коэффициенты Фурье функции f(x,t)=x(1-e-3t)
Это дает нам дифференциальное уравнение T'n=9λn+fn
Из начального условия u(x,0)=0 получаем, что Tn(0)=0
Таким образом, функция Tn является решением задачи Коши
T'n=9λnTn+fn
Tn(0)=0
По формулам из курса обыкновенных дифференциальных уравнений находим, что
Tn(t)=∫0tfn(ξ)exp[9λn(t-ξ)]dξ

Вычисляем
fn(t)=(2/3)∫03x(1-e-3t)sin(n*pi*x/3)dx=(2/3)(1-e-3t)[-(3x/pi*n)cos(n*pi*x/3)+(9/pi2n2)sin(n*pi*x/3)]03=6(-1)n+1(1-e-3t)/(pi*n)
Следовательно,
Tn(t)=6(-1)n+1/(pi*n)∫0t(1-e-3ξ)e-(pi^2n^2(t-ξ))dξ=6(-1)n+1/(pi*n)e(-pi^2n^2)t[(e(pi^2n^2)t-1)/(pi^2n^2)-((e(pi^2n^2-3)t-1)/(pi^2n^2-3))]
Решение задачи
u(x,t)=∑n=1Tn(t)sin(n*pi*x/3)


Консультировал: Орловский Дмитрий (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 18.05.2013, 13:39

Рейтинг ответа:

0

[подробно]

Сообщение
модераторам

Отправлять сообщения
модераторам могут
только участники портала.
ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
регистрация »

Мини-форум консультации № 187348

асяня
Профессор

ID: 323606

# 1

= общий = | 17.05.2013, 01:33 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер

Отсутствует одно из граничных условий. Может быть, u(0,t)=0?


Посетитель

ID: 385776

# 2

= общий = | 17.05.2013, 09:32 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер

Да, Действительно так. Вот оригинал.
P.S Помогите решить еще следующие задание. Повышаю цену до 200.
P.S.S Желательно с объяснением, для общего развития :)

-----
 Прикрепленный файл (кликните по картинке для увеличения):

• Отредактировал: [неизвестный]
• Дата редактирования: 17.05.2013, 11:42


Посетитель

ID: 385776

# 3

= общий = | 17.05.2013, 21:07 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
асяня:

Спасибо. Вроде Все понятно.
Уважаемые эксперты, по возможности решите еще 5 задание, для параболического уравнения.

асяня
Профессор

ID: 323606

# 4

= общий = | 18.05.2013, 16:23 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Орловский Дмитрий:

Добрый день!
В диф.уравнении для Тn в первом слагаемом из правой части пропущен множитель.

Орловский Дмитрий
Мастер-Эксперт

ID: 319965

# 5

= общий = | 18.05.2013, 18:29 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
асяня:

Спасибо, исправил.


Посетитель

ID: 385776

# 6

= общий = | 19.05.2013, 01:24 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер

Tn(t)=6(-1)n+1/(pi*n)∫0t(1-e-3ξ)e-(pi^2n^2(t-ξ))dξ=6(-1)n+1/(pi*n)e(-pi^2n^2)t[(e(pi^2n^2)t-1)/(pi^2n^2)-((e(pi^2n^2-3)t-1)/(pi^2n^2-3))]
Можете пояснить в какой степени тут экспонента?

асяня
Профессор

ID: 323606

# 7

= общий = | 19.05.2013, 13:48 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер

Под знаком интеграла экспонента exp[9λn(t-ξ)]. Подставляя λn=-(pi*n/3)2, получим

Орловский Дмитрий
Мастер-Эксперт

ID: 319965

# 8

= общий = | 22.05.2013, 12:26 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер

© Цитата:
Можете пояснить в какой степени тут экспонента

-----
 Прикрепленный файл (кликните по картинке для увеличения):

 

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.

Яндекс Rambler's Top100

главная страница | поддержка | задать вопрос

Время генерирования страницы: 0.13861 сек.

© 2001-2017, Портал RFPRO.RU, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
Калашников О.А.  |  Гладенюк А.Г.
Версия системы: 7.41 от 25.02.2017
Бесплатные консультации онлайн