20.11.2017, 22:06 [+3 UTC]
в нашей команде: 2 273 чел. | участники онлайн: 4 (рекорд: 21)

:: РЕГИСТРАЦИЯ

:: консультации

:: задать вопрос

:: все разделы

:: правила

:: новости

:: участники

:: доска почёта

:: форум

:: блоги

:: поиск

:: статистика

:: наш журнал

:: наши встречи

:: наша галерея

:: отзывы о нас

:: поддержка

:: руководство

Версия системы:
7.41 (25.02.2017)

Общие новости:
23.02.2017, 09:51

Форум:
20.11.2017, 20:05

Последний вопрос:
20.11.2017, 21:01

Последний ответ:
20.11.2017, 21:19

Последняя рассылка:
20.11.2017, 21:45

Писем в очереди:
0

Мы в соцсетях:

Наша кнопка:

RFpro.ru - здесь вам помогут!

Отзывы о нас:
27.05.2010, 19:09 »
MrSpencer
Спасибо за объяснение задачи про глаза =)) [вопрос № 178677, ответ № 261704]
22.01.2010, 18:33 »
MaksimDenisov
Притворную сделку можно оспорить, но нужно доказать. Спасибо за ответ! [вопрос № 176192, ответ № 258821]

РАЗДЕЛ • Математика

Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

[администратор рассылки: Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор)]

Лучшие эксперты в этом разделе

Гордиенко Андрей Владимирович
Статус: Модератор
Рейтинг: 4308
Михаил Александров
Статус: Практикант
Рейтинг: 1803
Елена Васильевна
Статус: Бакалавр
Рейтинг: 481

Перейти к консультации №:
 

Консультация онлайн # 187338
Раздел: • Математика
Автор вопроса: Посетитель - 397065
Отправлена: 14.05.2013, 20:14
Поступило ответов: 2

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста smile Очень срочно нужно!






Редактирование
--------

• Отредактировал: Sergei F®ost (Администратор)
• Дата редактирования: 14.05.2013, 20:35

Состояние: Консультация закрыта

Ответ # 272266 от Орловский Дмитрий (Мастер-Эксперт)

Здравствуйте, Посетитель - 397065!
7.
Решение задачи будем искать в виде
u(x,t)=v(t)sin3x
Краевые условия u(0,t)=u(pi,t)=0 будут выполнены автоматически, а начальное условие равносильно v(0)=0.
Подставляя в уравнение, получаем
v'sin3x=-18vsin3x+7e-18tsin3x
v'+18v=7e-18t
Общее решение однородного уравнения v=Ce-18t
Частное решение ищем в виде v=Ate-18t. Подставляя в уравнение, имеем
(Ae-18t-18Ate-18t)+18Ate-18t=7e-18t
Ae-18t=7e-18t
A=7
Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения v=7te-18t+Ce-18t
Из условия v(0)=0 определяем постоянную C
v(0)=C ⇒ C=0
Таким образом
u(x,t)=7te-18tsin3x

10.
Решение задачи ищем в виде
u(x,t)=v(t)sin3x
Граничные условия выполняются автоматически, а начальные равносильны равенствам
v(0)=0, v'(0)=0
Подставляя в уравнение, находим
v''sin3x=-vsin3x+8sin3tsin3x
v''+v=8sin3t
Решение однородного уравнения v=C1sint+C2cost
Решение неоднородного уравнения ищем в виде v=Asin3t
Подставляя в уравнение, получаем
-9Asin3t+Asin3t=8sin3t ⇒ A=-1
Общее решение
v=C1sint+C2cost-sin3t
C1 и C2 находим из начальных условий v(0)=0, v'(0)=0
v(0)=C2
v'(0)=C1-3
Отсюда C1=3, C2=0
Таким образом, v=3sint-sin3t

Ответ: u=(3sint-sin3t)sin3x


Консультировал: Орловский Дмитрий (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 15.05.2013, 08:44

5
нет комментария
-----
Дата оценки: 15.05.2013, 11:38

Рейтинг ответа:

0

[подробно]

Сообщение
модераторам

Отправлять сообщения
модераторам могут
только участники портала.
ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
регистрация »

Ответ # 272276 от асяня (Профессор)

Здравствуйте, Посетитель - 397065!
6.
Решаем методом Фурье разделения переменных.
u(x,t)=X(x)T(t).
Подставляя в уравнение и разделяя переменные, получим:
X''/X=T'/T=-λ2,
где λ=const,λ2>0.
Подставляя в граничные условия, получим:
X'(0)=0, X(3,5)=0.
Функции X(x) и T(t) являются решениями связанных задач:
1. X''+λ2X=0, X'(0)=0, X(3,5)=0 (задача Штурма-Лиувилля).
2. T'+λ2T=0.
Решим задачу 1.
X(x)=Acosλx+Bsinλx.
X'(0)=0 ⇒ -Bλ=0 ⇒ B=0.
X(3,5)=0 ⇒ Acos3,5λ=0 ⇒ λ=(2k+1)π/7, k=0,1,2,...
Итак, собственные значения задачи Штурма-Лиувилля: λk=(2k+1)π/7, собственные функции Xk(x)=cos((2k+1)πx/7).
Уравнение 2 имеет общее решение T(t)=Cexp(-λ2t). Подставляя λk, получим: Tk(t)=Ckexp(-(2k+1)2π2t/49).
Решением исходной смешанной задачи будет функция, определяемая рядом
u(x,t)=∑k=0Xk(x)Tk(t)=∑k=0Ckexp(-(2k+1)2π2t/49)cos((2k+1)πx/7).
Осталось определить коэффициенты Ck так, чтобы полученное решение удовлетворяло начальному условию u(x,0)=6cos9πx.
Полагая t=0 в ряду, имеем:∑k=0Ck cos((2k+1)πx/7)=6cos9πx.
Отсюда С31=6, Сk=0 при к≠31,к=0,1,2...
Таким образом, искомое решение смешанной задачи есть u(x,t)=6exp(-81π2t)cos9πx.



Консультировал: асяня (Профессор)
Дата отправки: 17.05.2013, 01:21

Рейтинг ответа:

0

[подробно]

Сообщение
модераторам

Отправлять сообщения
модераторам могут
только участники портала.
ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
регистрация »

Мини-форум консультации № 187338
Орловский Дмитрий
Мастер-Эксперт

ID: 319965

# 1

= общий = | 15.05.2013, 08:46 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер

В задаче 8 значение α=pi/4?


Посетитель

ID: 397065

# 2

= общий = | 15.05.2013, 11:39 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Орловский Дмитрий:

Да

Орловский Дмитрий
Мастер-Эксперт

ID: 319965

# 3

= общий = | 15.05.2013, 15:53 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер

8.
Находим решения с разделенными переменными u(r,φ)=R(r)Ф(φ).
Уравнение Лапласа в полярных координатах
urr+(1/r)ur+(1/r2)uφφ=0
Подставляя сюда u=RФ, получаем
R''Ф+(1/r)R'Ф+(1/r2)RФ''=0
Разделяя переменные, получаем
(r2R''+rR')/R=-Ф''/Ф=λ
Это два обыкновенных дифференциальных уравнения
r2R''+rR'-λR=0
Ф''+λФ=0
Краевые условия u(r,0)=0,uφ(r;pi/4)=0 дают
Ф(0)=0, Ф'(pi/4)=0
Таким образом, для функции Ф получаем задачу Штурма-Лиувилля
Ф''+λФ=0
Ф(0)=0, Ф'(pi/4)=0
Ее решение
λn=(4n+2)2n(φ)=sin(4n+2)φ
(n=0,1,2,...)

Далее решаем уравнение для R
r2R''+rR'-(4n+2)2R=0
Это уравнение Эйлера, его общее решение
R(r)=C1r4n+2+C2r-4n-2
В силу непрерывности в нуле остается только первое слагаемое
R(r)=C1r4n+2

Наконец, решение задачи ищем в виде ряда из простейших решений
u(r,φ)=∑n=0anr4n+2sin(4n+2)φ
Нам осталось только удовлетворить условие u(1,φ)=4sin14φ, это дает равенство
4sin14φ=∑n=0ansin(4n+2)φ
Сравнивая коэффициенты справа и слева, получаем, что a3=4, а все остальные коэффициенты равны нулю, следовательно ряд состоит из одного слагаемого
u(r,φ)=4r14sin14φ

Ответ: u(r,φ)=4r14sin14φ

• Отредактировал: Орловский Дмитрий (Мастер-Эксперт)
• Дата редактирования: 15.05.2013, 15:54


Посетитель

ID: 397065

# 4

= общий = | 15.05.2013, 16:03 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Орловский Дмитрий:

Спасибо большое!

 

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.

Яндекс Rambler's Top100

главная страница | поддержка | задать вопрос

Время генерирования страницы: 0.13899 сек.

© 2001-2017, Портал RFPRO.RU, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
Калашников О.А.  |  Гладенюк А.Г.
Версия системы: 7.41 от 25.02.2017
Бесплатные консультации онлайн