Здравствуйте, Посетитель - 397065!
7.
Решение задачи будем искать в виде
u(x,t)=v(t)sin3x
Краевые условия u(0,t)=u(pi,t)=0 будут выполнены автоматически, а начальное условие равносильно v(0)=0.
Подставляя в уравнение, получаем
v'sin3x=-18vsin3x+7e^-18tsin3x
v'+18v=7e^-18t
Общее решение однородного уравнения v=Ce^-18t
Частное решение ищем в виде v=Ate^-18t. Подставляя в уравнение, имеем
(Ae^-18t-18Ate^-18t)+18Ate^-18t=7e^-18t
Ae^-18t=7e^-18t
A=7
Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения v=7te^-18t+Ce^-18t
Из условия v(0)=0 определяем постоянную C
v(0)=C [$8658$] C=0
Таким образом
u(x,t)=7te^-18tsin3x

10.
Решение задачи ищем в виде
u(x,t)=v(t)sin3x
Граничные условия выполняются автоматически, а начальные равносильны равенствам
v(0)=0, v'(0)=0
Подставляя в уравнение, находим
v''sin3x=-vsin3x+8sin3tsin3x
v''+v=8sin3t
Решение однородного уравнения v=C₁sint+C₂cost
Решение неоднородного уравнения ищем в виде v=Asin3t
Подставляя в уравнение, получаем
-9Asin3t+Asin3t=8sin3t [$8658$] A=-1
Общее решение
v=C₁sint+C₂cost-sin3t
C₁ и C₂ находим из начальных условий v(0)=0, v'(0)=0
v(0)=C₂
v'(0)=C₁-3
Отсюда C₁=3, C₂=0
Таким образом, v=3sint-sin3t

Ответ: u=(3sint-sin3t)sin3x

Здравствуйте, Посетитель - 397065!
6.
Решаем методом Фурье разделения переменных.
u(x,t)=X(x)T(t).
Подставляя в уравнение и разделяя переменные, получим:
X''/X=T'/T=-[$955$]²,
где [$955$]=const,[$955$]²>0.
Подставляя в граничные условия, получим:
X'(0)=0, X(3,5)=0.
Функции X(x) и T(t) являются решениями связанных задач:
1. X''+[$955$]²X=0, X'(0)=0, X(3,5)=0 (задача Штурма-Лиувилля).
2. T'+[$955$]²T=0.
Решим задачу 1.
X(x)=Acos[$955$]x+Bsin[$955$]x.
X'(0)=0 [$8658$] -B[$955$]=0 [$8658$] B=0.
X(3,5)=0 [$8658$] Acos3,5[$955$]=0 [$8658$] [$955$]=(2k+1)[$960$]/7, k=0,1,2,...
Итак, собственные значения задачи Штурма-Лиувилля: [$955$]_k=(2k+1)[$960$]/7, собственные функции X_k(x)=cos((2k+1)[$960$]x/7).
Уравнение 2 имеет общее решение T(t)=Cexp(-[$955$]²t). Подставляя [$955$]_k, получим: T_k(t)=C_kexp(-(2k+1)²[$960$]²t/49).
Решением исходной смешанной задачи будет функция, определяемая рядом
u(x,t)=[$8721$]_k=0^[$8734$]X_k(x)T_k(t)=[$8721$]_k=0^[$8734$]C_kexp(-(2k+1)²[$960$]²t/49)cos((2k+1)[$960$]x/7).
Осталось определить коэффициенты C_k так, чтобы полученное решение удовлетворяло начальному условию u(x,0)=6cos9[$960$]x.
Полагая t=0 в ряду, имеем:[$8721$]_k=0^[$8734$]C_k cos((2k+1)[$960$]x/7)=6cos9[$960$]x.
Отсюда С₃₁=6, С_k=0 при к[$8800$]31,к=0,1,2...
Таким образом, искомое решение смешанной задачи есть u(x,t)=6exp(-81[$960$]²t)cos9[$960$]x.