Здравствуйте, Посетитель - 395932!


Сначала определяем группу студентов на один предмет: это способов, где 3 <= i <= 6; и на второй: это способов(векхний индекс: i уже пошли первый предмет сдавать, ещё 3 пойдут третий сдавать; нижний индекс: студентов во вторую группу можем набирать из 12-i человек).

Таким образом, искомое число способов есть
.

Со столами(если столы различимы) аналогично:
.

Но если столы неразличимы, то формула претерпит два изменения(на примере двух столиков):
1. Не важно, какие именно два столика были выбраны, так что исчезнет множитель .
2. В прошлой формуле столики(по аналогии с предметами) считались различимыми, т.е. была разница, сядет данная группа студентов за первый или за второй. Если столики не различимы, то состояние {группа A за столиков 1, а группа B за столиком 2} не отличимо от {группа A за столиком 2, а группа B за столиком 1}. Т.е. "состояние инвариантно относительно перестановок групп студентов". Таким образом, мы посчитали в 2!(число перестановок двух элементов) больше вариантов, чем в интересующем случае неразличимых столов.

Итак, искомое число размещение для неразличимых столов:
.

Здравствуйте, Посетитель - 395932!

Нужно определить количество упорядоченных разбиений 12 элементов на 3 множества не менее чем по 3.

Пусть 1-й предмет сдает 3 человека. Тогда остаются 9 человек, из которых также от 3 до 6 человек могут сдавать 2-й предмет.
Например, 3.
Можно это записать как произведение количества сочетаний, , но это число обозначается как R(12;3;3;6)=
Это число нужно учитывать 3 раза, при другом порядке групп
2-й предмет сдают 4 человека

Это число нужно учитывать 6 раза, при другом порядке групп
Остался 1 случай. Все предметы сдают по 4 человека

Ответ: 55440+166320+34650=256410

Для неупорядоченных разбиений на 4 группы формула будет например, на 2,2,2,6 число разбиений нужно разделить на 6, т.к. формула предназначена для подсчета числа упорядоченных разбиений, а все двойки можно перемещать между собой, что даст 3!
R(12;2;2;2;6)/6+R(12;2;2;3;5)/2+R(12;2;2;4;4)/4+R(12;2;3;3;4)/2+R(12;3;3;3;3)/24=13860+83160+51975+138600+15400=302995

Здравствуйте, Посетитель - 395932!

Чтобы найти, сколькими способами студенты могут разделиться на группы не менее чем по трое, чтобы сдать зачёт, поступим следующим образом. Составим таблицу из четырёх столбцов. В первом столбце запишем количество студентов, которые будут сдавать зачёт по физике, во втором - по английскому языку, в третьем - по истории, а в четвёртом - количество способов, которыми можно сформировать соответствующий список студентов. Получим следующий результат:



Чтобы найти, сколькими способами те же студенты могут разместиться за четырьмя столиками не менее чем по двое, составим таблицу из семи столбцов. В первом столбце запишем количество студентов в первой "бригаде", во втором - во второй "бригаде", в третьем - в третьей "бригаде", в четвёртом - в четвёртой "бригаде", в пятом - количество способов, которыми можно сформировать соответствующий список студентов, в шестом - количество повторяющихся способов, которыми "бригады" можно рассадить по столикам, в седьмом - частное от деления числа в пятом столбце на число в шестом столбце. При заполнении пятого столбца руководствуемся теми же соображениями, что и при ответе на первый вопрос задачи. Получим следующий результат:



Ответ: 256410 способами; 302995 способами.

С уважением.