Доброй ночи!
Вопросы, если честно, непонятные. Первый вообще не понятен, вторая же формула выглядит неверной. По крайней мере, в единственной интерпретации, пришедшей мне в голову. Тут хорошо бы оговорить, что имеется в виду.
Градиент функции -- дифференциал:
?
Что такое градиент вектора? Ковариантная производная? Соответствующая связность согласована с метрикой?
Между векторным и ковекторным расслоениями подразумевается канонический "музыкальный" изоморфизм за счёт метрики(или, как говорят физики, поднятие/опускание индексов метрикой)?
Что такое ротор векторного поля для произвольного (псевдо)риманова многообразия? Композиция опускания индекса, внешнего дифференцирования и звёздочки Ходжа:
(здесь
читать как *(кажется, местный рендер формул не умеет звёздочки), под
понимать опускание индекса)
?
Что такое векторное произведение векторов для риманова многообразия? Тоже внешнее произведение и звёздочка Ходжа:
?
Если так, то формула, кажется, выглядит неверной. Действительно,
Начнём с наиболее простого члена -- разбирать проще чем собирать:
.
даёт нечто ненулевое.
Пусть метрика от координат не зависит:
, например(иными словами, проверим формулу на трёхмерном евклидовом пространстве). Тогда связность, согласованная с ней тривиальна и
,
а
.
Но предполагается же, что что ещё член с ротором есть. А он ненулевой.
PS. Если что, первое приличное чтиво по линейной алгебре, увиденное мной, было вторым томом "Лекций по геометрии" Постникова. Рекомендую. Вот как раз с тензорами разобраться. Для начинающего -- самое то.
Вообще по линейной алгебре замечательная "Лекции по линейной алгебре и геометрии" Кострикина и Манина(не путать с книжками Кострикина; определяющей фамилией здесь является Манин). В бумажном виде, правда, трудно найти -- давно не переиздавался(возможно потому, что Манин давно уехал из России и ему всё равно, а Кострикин свои книги продвигает). И идейно хорошее изложение основ линейной алгебры -- не используя понятие определителя -- http://www.axler.net/DwD.html (если по-английски читается; по-русски не видел).
Раз была упомянута книжка по анализу, то здесь не могу не порекомендовать второй том Зорича. Первый тоже замечательный, но если второй читается, то первый не нужен. Все остальные учебники базового уровня на русском ниже его на голову.