Здравствуйте, Пучнин Алексей Александрович!
Будем искать решение в виде степенного ряда:

Его производные:


Подставим в уравнение:

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:




...
В итоге получаем решение, зависящее от постоянных интегрирования а0 и а1:

Рекурентная формула для остальных коэффициентов (а6 и далее):

Здравствуйте, Алексей Александрович!

Ищем решение заданного уравнения в виде ряда

Получим


что после подстановки в заданное уравнение даёт





Чтобы последнее уравнение обратилось в тождество, приравняем все коэффициенты нулю и получим

при этом коэффициенты и являются произвольными.

Итак, решением уравнения является ряд

где коэффициенты и произвольные, а остальные связаны рекуррентными зависимостями, указанными выше.

Полученное решение можно записать и в виде суммы двух линейно независимых между собой частных решений, одно из которых зависит от а другое от но большой нужды в этом нет.

С уважением.