Здравствуйте, lightcyber!


Имеем задачу Коши для уравнения вида
где а₁₁=1, а₁₂=-2, а₂₂=4. Поскольку (а₁₂)²-а₁₁·а₂₂=(-2)²-1[$183$]4=0,
то данное уравнение является уравнением параболического типа. Приведем его к каноническому виду.

Составим характеристическое уравнение

Получим

Общий интеграл уравнения характеристик: x+2t=C.
Для приведения исходного уравнения к каноническому виду введем новые переменные:
Дифференцируем:




Преобразуем производные к новым переменным, используя формулу вычисления производной сложной функции:






Подставив их в исходное уравнение, имеем:



После упрощения, приходим к каноническому виду уравнения:



Интегрируя полученное уравнение по переменной [$627$], имеем:

Интегрируя второй раз по переменной [$627$], получим:

Возвращаясь к старым переменным, находим общее решение:

где f и g - произвольные функции указанных аргументов.

Продифференцируем найденную функцию по переменной t:

Удовлетворяя начальным условиям имеем:

Продифференцируем первое уравнение системы по x. Объединим полученное уравнение
со вторым уравнением системы, которое разделим на 2, получим:

Отсюда находим: Тогда
Подставив f'(x) во второе уравнение системы, имеем:

Из условия при х=0 находим:
Таким образом,

Подставим найденные функции f(x) и g(x) в общее решение (1);


Итак, искомое решение задачи Коши:

Здравствуйте, lightcyber!
Вторая задача.
Нам надо решить д.у. вида , удовлетворяющее начальному условию и граничным (краевым) условиям 2-го рода .
Решение может быть представлено как сумма бесконечного ряда
, где
, .

В нашем случае .
Вычислим :
.
Вычислим :
.
Интгерал
когда 3x=nx, т.е. при n=3, тогда вычислим
и тогда .
Окончательное решение будем искать в виде
, т.к. все , то


Третья задача.
Надо решить волновое уравнение, т.е. надо решить д.у. вида ,
удовлетворяющее начальным условиям и граничным (краевым) условиям .
Решение может быть представлено как сумма бесконечного ряда
, где
,
,
Наши исходные данные:
.
Тогда
,
т.к. , то

, вычисляя интеграл, получим
,
т.к. , тогда перепишем

Тогда окончательно решение запишется
,

Здравствуйте, lightcyber!

2. Рассмотрим уравнение

с начальным условием

и граничными условиями


Будем искать решение в виде

Подставим выражение (2) в уравнение (1) и получим или


Левая часть выражения (3) зависит только от а правая только от Поэтому обе части положим равными одной и той же величине

откуда получим, что



Для определения функции приходим к задаче о собственных значениях:

ненулевыми решениями которой при являются

Подставим в уравнение (5) и представим его в виде Решениями будут

Значит, - решения уравнения (1). Кроме того, решением, удовлетворяющим граничным условиям, будет и ряд

В нашем случае с учётом начального условия получим

Ответом к задаче будет функция

С уважением.