Здравствуйте, lightcyber!
Имеем задачу Коши для уравнения вида
где а
11=1, а
12=-1, а
22=-3. Поскольку (а
12)
2-а
11·а
22=(-1)
2-1[$183$](-3)=4>0,
то данное уравнение является уравнением гиперболического типа. Приведем его к каноническому виду.
Составим характеристическое уравнение
Получим два уравнения
Общие интегралы этих уравнений: t+3x=C
1, t-x=C
2.
Для приведения к канонической форме введем новые переменные:
Дифференцируем:
Преобразуем производные к новым переменным, используя формулу вычисления производной сложной функции:
Подставив их в исходное уравнение, имеем:
После упрощения, приходим к канонической форме уравнения:
Интегрируя полученное уравнение, имеем:
[
Возвращаясь к старым переменным, находим общее решение:
где f и g - произвольные функции указанных аргументов.
Продифференцируем найденную функцию по переменной t:
Удовлетворяя начальным условиям
имеем:
Интегрируя второе уравнение системы по x, получим:
где С - произвольная постоянная.
Теперь система примет вид
Отсюда
Тогда искомое решение задачи Коши имеет вид