Здравствуйте, mihail suhoverov!

Для удобства выполнения рисунка преобразуем уравнение заданной плоскости следующим образом:



Из уравнения (2) следует, что плоскость пересекает ось абсцисс в точке ось ординат - в точке а ось аппликат - в точке Из уравнения (1) следует, что нормальным вектором этой плоскости является вектор Этот вектор является внешним по отношению к пирамиде. Длина этого вектора составляет а единичным вектором того же направления является вектор причём, как известно, координаты единичного вектора нормали являются его направляющими косинусами.

Изобразим пирамиду, учитывая, что её основанием является треугольник а вершиной - начало координат. На этом же рисунке изобразим и вектор



1. В нашем случае векторное поле задано уравнением свидетельствующим о том, что оно всюду параллельно оси аппликат. Значит, Из уравнения (1) находим откуда получим Следовательно, по одной из формул, поток векторного поля через поверхность составляет





2. Для непосредственного вычисления циркуляции воспользуемся формулой

где в нашем случае контур интегрирования представляет собой границу треугольника

Разбивая контур интегрирования на отрезки, получим




Для вычисления циркуляции по теореме Стокса будем рассматривать треугольник как поверхность , натянутую на свой контур Тогда



где Это поверхностный интеграл первого рода. Воспользуемся формулой

где - проекция поверхности на плоскость Тогда


Получили тот же результат.

3. Как видно из рисунка, грани пирамиды, расположенные в плоскостях и параллельны векторному полю а грань, расположенная в плоскости перпендикулярна к нему. Поэтому поток этого векторного поля через полную поверхность пирамиды в направлении её внешней нормали равен сумме потоков через треугольники и (соответственно и ). Имеем



(Здесь мы учитываем, что единичный вектор внешней нормали к треугольнику - это вектор Для этого треугольника );


Поток векторного поля через полную поверхность пирамиды можно вычислить и иначе, используя формулу Остроградского:




Получили тот же результат.

С уважением.