Здравствуйте, Алексеев Иван Николаевич!
3
Разделив на 1+х^2, получим линейное дифференциальное уравнение
y'+4x/(1+x^2)y=3/(1+x^2),
которое решаем методом Бернулли:
y=uv, y'=u'v+v'u
u'v+v'u+4x/(1+x^2)uv=3/(1+x^2)
u'v+u(v'+4x/(1+x^2)v)=3/(1+x^2) (*)
v ищем в виде, чтобы выражение в скобках равнялось 0:
v'+4x/(1+x^2)v=0
dv/v+4xdx/(1+x^2)=0
dv/v+2d(1+x^2)/(1+x^2)=0
ln|v|+2ln|1+x^2|=C
ln|v(1+x^2)^2|=C
v(1+x^2)^2=e^C
Приняв С=0, получим v=1/(1+x^2)
Подставим в (*):
u'/(1+x^2)=3/(1+x^2)
u'=3
u=3x+C
y=uv=(3x+C)/(1+x^2)

Здравствуйте, Алексеев Иван Николаевич!
1) решаем сначала однородное уравнение y''+y'=0. Характеристическое уравнение
[$955$]²+[$955$]=0
имеет корни [$955$]=0, [$955$]=-1
общее решение
y=C₁+C₂e^-x
Далее ищем частное решение неоднородного уравнения в виде y=ax²+bx. Подставляя в уравнение, получаем
2a+(2ax+b)=2x-1
приравнивая коэффициенты при подобных членах, получаем
2a=2
2a+b=-1
решая систему, находим
a=1, b=-3 ---> y=x²-3x

Ответ: y=C₁+C₂e^-x+x²-3x

Здравствуйте, Алексеев Иван Николаевич!
5)
(x+x³)yy'=1+y²;
; интегрируем обе части равенства:

; т.к. ;

;

или ;


; Возведем в квадрат обе части



; обозначим C₁²-1=C; тогда