Здравствуйте, Посетитель - 369100!

Рассмотрим первую задачу. Пусть вероятности безотказной работы элементов A, B, C (т. е. первого, второго и третьего соответственно) составляют p(A) = 0,861, p(B) = 0,761, p(C) = 0,711. Тогда
а) вероятность того, что за время T выйдет из строя только один элемент, равна вероятности того, что за это время выйдет из строя один из трёх элементов, а два других не выйдут из строя. Это может быть реализовано тремя способами: первый элемент вышел из строя, а второй и третий - нет; второй элемент вышел из строя, а первый и третий - нет; третий элемент вышел из строя, а первый и второй - нет. Следовательно, искомая вероятность составляет
p_а = (1 - p(A))p(B)p(C) + p(A)(1 - p(B))p(C) + p(A)p(B)(1 - p(C)) =
= (1 - 0,861) * 0,761 * 0,711 + 0,861 * (1 - 0,761) * 0,711 + 0,861 * 0,761 * (1 - 0,711) =
= 0,075208869 + 0,146308869 + 0,189368869 = 0,410876607;
в) вероятность того, что за время T выйдут из строя только два элемента, равна вероятности того, что за это время выйдут из строя два элемента, а третий не выйдет из строя. Это может быть реализовано тремя способами: первый и второй элементы вышли из строя, а третий - нет; первый и третий элементы вышли из строя, а второй - нет; второй и третий элементы вышли из строя, а первый - нет. Следовательно, искомая вероятность составляет
p_в = (1 - p(A))(1 - p(B))p(C) + (1 - p(A))p(B)(1 - p(C)) + p(A)(1 - p(B))(1 - p(C)) =
= (1 - 0,861) * (1 - 0,761) * 0,711 + (1 - 0,861) * 0,761 * (1 - 0,711) + 0,861 * (1 - 0,761) * (1 - 0,711) =
= 0,023620131 + 0,030570131 + 0,059470131 = 0,113660393;
б) вероятность того, что за время T выйдет из строя хотя бы один элемент, равна вероятности того, что за это время выйдет из строя или только один элемент, или только два элемента, или три элемента. Вероятность того, что за это время выйдет из строя только один элемент, и вероятность того, что эа это время выйдут из строя только два элемента, были определены выше. Найдём вероятность того, что за это время выйдут из строя три элемента:
p = (1 - p(A))(1 - p(B))(1 - p(C)) = (1 - 0,861) * (1 - 0,761) * (1 - 0,711) = 0,009600869
и найдём искомую вероятность:
p_б = p_а + p_в + p = 0,410876607 + 0,113660393 + 0,009600869 = 0,534137869.

Кроме того, в случае б искомая вероятность суть вероятность события, которое противоположно событию, состоящему в том, что ни один из трёх элементов не откажет, т. е.
p_б = 1 - p(A)p(B)p(C) = 1 - 0,861 * 0,761 * 0,711 = 1 - 0,465862131 = 0,534137869.

С уважением.

Здравствуйте, Посетитель - 369100!
7) Событие А - стрелок поразит мишень,
гипотезы: Н₁ - взята винтовка с прицелом, гипотезы: Н₁ - взята винтовка без прицела.
Вероятности гипотез: Р(Н₁)=3/18, Р(Н₂)=(18-3)/18=15/18,
Условные вероятности события А: Р(А|Н₁)=0,77, Р(А|Н₁)=0,42.
По формуле полной вероятности находим вероятность того, что поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки:
Р(А)=Р(Н₁)[$183$]Р(А|Н₁)+Р(Н₂)[$183$]Р(А|Н₂)=(3/18)[$183$]0,77+(15/18)[$183$]0,42=(2,31+6,3)/18=8,61/18[$8776$]0,478.

Здравствуйте, Посетитель - 369100!
6) Магазин получил две равные по количеству партии одноименного товара. Известно что, 45% первой партии и 33% второй партии составляют товар первого сорта. Какова вероятность того, что наугад выбранная единица товара будет не первого сорта?
РЕШЕНИЕ:
Пусть в каждой партии 100единиц товара, т.е. всего в магазине 200единиц товара. Из них: 1сорта 45+33=78(единиц) => не первого сорта 200-78=122(единицы)
Т.е. m=122; n=200 P=m/n=122/200=0,61
ОТВЕТ: Р=0,61
7) В пирамиде стоят 18 винтовок, из них 3 с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с вероятностью 0,77, а стреляя из винтовки без оптического прицела, - с вероятностью 0,42. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки.
РЕШЕНИЕ:
Обозначим через А событие-стрелок поразил мишень. Возможны две гипотезы: В1-стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом, Р(В1)=3/18=1/6;
В2-стрелок стрелял из обычной винтовки: Р(В2)=15/18=5/6;
Условная вероятность того, что мишень поражена, если стрелок использовал винтовку с оптическим прицелом: РВ1(А)=0,77; если стрелок стрелял из обычной винтовки: РВ2(А)=0,42.
Вероятность того, что стрелок поразит мишень находим по формуле полной вероятности:

Р(А)= Р(В1) РВ1(А)+ Р(В2) РВ2(А)=1/6*0.77+5/6*0.42=0.4783
ОТВЕТ: Р(A)=0.4783

Здесь решение 3 задачи
https://rfpro.ru/upload/8122

Решение 5 задачи
Используем локальную теорему Лапласа:

P=[$966$](x)/[$8730$]npq ; где [$966$](x)=k-nq/[$8730$]npq;

n=1500; k=8; p=0.002; q=1-0.002=0.988
x=(8-1500*0.002)/[$8730$]1500*0.002*0.988=2.9;
[$966$](2.9)=0.0060- находим по таблице, т.о.
P(8)=0.006/[$8730$]2.964=0.00348

Здравствуйте, Посетитель - 369100!
Вторая задача.
смешаны 5 изделий 1-го сорта и 6 изделий 2-го сорта. Т.о. всего изделий 11.
p- вероятность вынуть изделие 1-го сорта, p=5/11 ,
q - вероятность не вынуть изделие 1-го сорта (вынуть изделие 2-го сорта), q=6/11.
Извлекаем из выборки 5 изделий.
а) 3 изделия 1-го сорта
Применяем формулу Бернулли. Вероятность появления события ровно k раз.
,
где C(n, k) - число сочетаний из n по k.
,
б) меньше, чем 3 изделия 1-го сорта;
Вероятность того, что в n испытаниях вероятность наступит менее k раз:

Т.о. вероятность того, что будет вынуто менее трех изделий 1-го сорта:
.
,
,
,
итого
.
в) хотя бы одно изделие 1-го сорта
Вероятность того, что в n испытаниях вероятность наступит не менее k раз:
.
Т.о. вероятность того, что вынут хотя бы одно изделие 1-го сорта (не менее 1 изделия)
.

Здравствуйте, Посетитель - 369100!

4) Вероятность того, что деталей первого сорта будет ровно 130 штук найдем с помощью локальной формулы Лапаласа
P_n(k) = (1/[$8730$]npq)*[$966$]((k-np)/[$8730$]npq)
Подставив значения, получим
P₃₆₆(130) = (1/[$8730$]366*0.6*0.4)*[$966$]((130-366*0.6)/[$8730$]366*0.6*0.4) = 0.1067*[$966$](-9.56) = 0, т.е. это практически невозможно.

Вероятность того, что деталей первого сорта будет от 82 до 106 штук будет найдем с помощью интервальной формулы Лапласа
P(n₁;n₂) = Ф((k₂-np)/[$8730$]npq) - Ф((k₁-np)/[$8730$]npq)
Подставив значения, получим
P(82;106) = Ф((106-366*0.6)/[$8730$]366*0.6*0.4) - Ф((82-366*0.6)/[$8730$]366*0.6*0.4) = Ф(-12.1238) - Ф(-14.6852)= -0.5+0.5 = 0, т.е. это практически невозможно.

Такие результаты (нулевая вероятность в обоих случаях) объясняются тем, что проверяемые значения далеки от наиболее вероятного число деталей первого сорта, которое будет равно 366*0.6 = 220 (с округлением до ближайшего целого).