Здравствуйте, STamara!
1.Что значит, что функция непрерывно дифференцируема? То, что непрерывна её производная. Отрезок - компакт. Поэтому она равномерно непрерывна. Т.е.
такое, что для любых x и t из отрезка [a,b], отстоящих друг от друга не больше чем на
,
.
Раз на [x,t] функция дифференцируема, то
,
где
(теорема Лагранжа).
Подставим это в формулу из условия
А это, по вышесказанному, меньше
.
3.Интересная и очень контринтуитивная задача. Например, такой ряд:
.