Здравствуйте, Дмитрий!
То, что Вы описали, я к этому и пришёл.

Интеграл я представил в виде x^m*(a+bx^n)^p dx (интеграл от дифференциального бинома)
В моём случае получилось: (x^1/3)*(1+x^1/2)^(-1) dx
Так как p - целое число (p=-1), то подстановка x=t^k рационализирует интеграл, k - НОК знаменателей дробей m, n; k=6.
Значит, делаем подстановку x=t^6, dx=6t^5 dt.
Убеждаюсь, что я сделал всё правильно.

Далее, упрощая интеграл, получаю 6 умножить на неопределённый интеграл (t^7)*(1+t^3)^(-1) dt. Иначе говоря, необходимо теперь найти интеграл (t^7)/(1+t^3) dt (тэ в седьмой степени, делённое на единицу плюс тэ в кубе).
Именно на этом моменте я и "застопорился". Думаю, здесь вновь нужно делать подстановку? Или есть какой-то другой метод?
Некоторые подстановки пытался делать, не помогли.
Подскажите, пожалуйста, что теперь нужно делать?

Вот Вам следующий шаг: разделив многочлен на многочлен, получите t⁴ - t + t / (1 + t³)

Vanger, спасибо Вам за подсказку, всё остальное сделал сам.

Позвольте внести небольшую поправку. Дробь мы должны представить в виде

(Au+B)/(u²-u+1)+C/(u+1)

Спасибо всем экспертам, оказавшим мне помощь в решении задания!!!

Рад, что получилось! А насчёт поправки - так у меня и написано, что A и B - многочлены(а не числа). Что, пожалуй, несколько отличается от типичных обозначений, а потому и ввело в заблуждение.

Ах, да, простите, не заметил. Всё ясно.