Здравствуйте, Посетитель - 393161!
1
Наибольшая скорость роста функции двух переменных равна модулю ее градиента.
grad z = (z'x;z'y)=(2xy;x^2)
grad z(2;1)=(4;4)
|gradz(2;1)|=sqrt(16+16)=4sqrt(2)
3
sinxdx+2xcosydx-x^2sinydy-2ydy=0
dx(sinx+2xcosy)=dy(2y+x^2siny)
dy/dx=(sinx+2xcosy)/(2y+x^2siny)
2
dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)
dx/dt=3t^2lnt+t^2=t^2(3lnt+1)
dy/dt=3t^2e^t+t^3e^t=t^2e^t(3+t)
dy/dx=e^t(3+t)/(3lnt+1)
4
Знаменатель не обращается в 0, следовательно, вертикальных асимптот нет.
y=kx+b - наклонные асимптоты
На минус бесконечности:
k=lim y/x = lim (3x^2+5)/(x^2+x+1)=3
b=lim(y-kx)=lim(y-3x)=lim(5-3x^2-3x)/(x^2+x+1)=-3
y=3x-3
На плюс бесконечности асимптота тоже у=3х-3
5
Используем метод множителей Лагранжа:
u=x^2+y^2+1+k(x+2y-5)
Приравниваем частные производные по х, у и k к 0:
2x+k=0
2y+2k=0
x+2y=5
Решение системы: k=-2, x=1, y=2
(1;2) - точка экстремума
Находим определитель в этой точке (f=x+2y-5):
D=
|0 f'x f'y|
|f'x u''xx u''xy|=
|f'y u''xy u''yy|

|0 1 2|
|1 2 0|=-10<0, следовательно, это точка максимума
|2 0 2|
6


7
y'=90x^2-5x^4
y''=180x-20x^3=20x(9-x^2)=20x(3-x)(3+x)
Вторая производная обращается в 0 в точках -3;0;3.
При х<-3 и 0<x<3 y''>0 и функция вогнута
При -3<х<0 и x>3 y''<0 и функция выпукла

Здравствуйте, Посетитель - 393161!

6)
,
,
.

7)
,
,
.

Функция выпукла на промежутках, где вторая производная неотрицательна. Т.о. она выпукла при

и
.

На остальных промежутках она, соответственно, вогнута(выпукла вверх).

Здравствуйте, Посетитель - 393161!

1. Наибольшая скорость возрастания функции в точке равна модулю вектора градиента функции в этой точке. Имеем при



искомая наибольшая скорость возрастания функции в точке M


С уважением.

Здравствуйте, Посетитель - 393161!
8) В данном случае функция z является сложной функцией переменных x и y. Частная произовдная z по переменной x есть
z'_x=z'_uu'_x+z'_vv'_x.
z'_u=2u/v², z'_v=-2u²/v³, u'_x=siny, v'_x=-ysinx.
.
При получим