Здравствуйте, Дмитрий!
1,а
предел общего члена равен cos0=1 ---> ряд расходится так как не выполнено необходимое условие сходимости ряда
(предел общего члена равен нулю)

2) Общий член ряда
4/(9n²+3n-2)=(4/3)[1/(3n-1)-1/(3n+2)]=(4/3)[1/(3n-1)-1/(3(n+1)-1)]
Частичная сумма ряда
S_n=(4/3)[(1/2-1/5)+(1/5-1/8)+(1/8-1/11)+...+(1/(3n-1)-1/(3n+2))]=(3/4)[1/2-1/(3n+2)] --->3/8

Сумма ряда равна 3/8

6,а
коэффициенты степенного ряда
c_n=3ⁿ⁺¹n²/(n⁴+1)²
радиус сходимости
R=lim|c_n|/|c_n+1|=(1/3)lim(n²((n+1)⁴+1)²/(n⁴+1)²(n+1)²)=1/3
сходимость в граничных точках:
при |x|=1/3 модуль общего члена ряда 3n²/(n⁴+1)² эквивалентен 3/n⁶ (сходящийся ряд) ---> ряд сходится
Ответ: -1/3[$8804$]x[$8804$]1/3

6,б
коэффициенты степенного ряда
c_n=1/5ⁿ(n+1)
R=lim|c_n|/|c_n+1|=5lim(n+2)/(n+1)=5
сходимость в граничных точках:
1) x-4=5 (x=9) получаем ряд с общим членом 1/(n+1) - расходящийся ряд
2) x-4=-5 (x=-1) получаем ряд с общим членом (-1)ⁿ/(n+1) - ряд Лейбница --> ряд сходится
Ответ: -1[$8804$]x<9

Здравствуйте, Дмитрий!
Рассмотрим пример 1б:
Имеем ряд

Общий член данного ряда равен:

Проверим, выполняется ли необходимый признак сходимости:

Следовательно, для данного ряда выполняется необходимое условие сходимости.

Здравствуйте, Дмитрий!

1б. Найдём предел общего члена ряда при устремлении его номера к бесконечности:

следовательно, необходимый признак сходимости выполняется. Чтобы сделать вывод о сходимости ряда, следует провести дальнейшее исследование.

С уважением.