Здравствуйте, Посетитель - 356695!
1) Имеем простейший функционал [$8747$]₀¹F(x,y,y')dx, где F(x,y,y')=y'²+y²+xy
Составляем уравнение Эйлера F_y-d/dx[F_y']=0, получаем
(2y+x)-d/dx[2y']=0, 2y+x-2y''=0,
2y''-2y=x (линейное уравнение с постоянными коэффициентами)
а) Решем однородное уравнение. Составляем характеристическое уравнение 2[$955$]²-2=0,
оно имеет корни [$955$]=[$177$]1. Общее решение однородного уравнения y=C₁e^x+C₂e^-x
б) Находим частное решение неоднородного уравнения, его правая часть имеет специальный виид f(x)=x,
поэтому частное решение ищем в виде y=Ax. Подставляя это в уравнение, находим 0-2Ax=x ---> A=-1/2 ---> y=-x/2

Таким образом, все экстремали (общее решение уравнения Эйлера) имеют вид
y=C₁e^x+C₂e^-x-x/2

Далее используем граничные условия y(0)=0, y(1)=0, получаем
y(0)=C₁+C₂
y(1)=C₁e+C₂/e-1/2
Это дает систему
C₁+C₂=0
C₁e+C₂/e-1/2=0
Решая систему, находим
C₁=e/[2(e²-1)]
C₂=-e/[2(e²-1)]

Ответ:
y=(e/[2(e²-1)])e^x-(e/[2(e²-1)])e^-x-x/2

2)F(x,y,y')=2y-x²y'²
Составляем уравнение Эйлера F_y-d/dx[F_y']=0, получаем
2-d/dx[2x²y]=0
2-4xy'-2x²y''=0
x²y''+2xy'=1 (это уравнение тоже называется уравнение Эйлера)
Подставляя y=x^[$955$], получаем характеристическое уравнение
[$955$]²+[$955$]=0 ---> [$955$]=0, [$955$]=-1
Общее решение однородного уравнения y=C₁+C₂/x
Частное решение ищем в виде y=Aln x, подставляя в уравнение, получаем
-A+2A=1 ---> A=1 ---> y=ln x
Общее решение (экстремали):
y=C₁+C₂/x+ln x

Далее используем граничные условия y(1)=e, y(e)=0, получаем
y(1)=C₁+C₂=0
y(e)=C₁+C₂/e+1=0
Решая систему, находим
C₁=-2e/(e-1)
C₂=e(e+1)/(e-1)

Ответ:
y=-2e/(e-1)+(e(e+1)/[x(e-1)])+ln x

3) F(x,y,y')=y'²+yy'+12xy
Составляем уравнение Эйлера F_y-d/dx[F_y']=0, получаем
(y'+12x)-d/dx[2y'+y]=0
y'+12x-2y''-y'=0
y''=6x
Дважды интегрируя, находим
y'=3x²+C₁
y=x³+C₁x+C₂

Из граничных условий находим
y(0)=C₂=0
y(1)=1+C₁+C₂=0
Решая систему, получаем
C₁=-1
C₂=0

Ответ:
y=x³-x