21.11.2017, 18:46 [+3 UTC]
в нашей команде: 2 276 чел. | участники онлайн: 8 (рекорд: 21)

:: РЕГИСТРАЦИЯ

:: консультации

:: задать вопрос

:: все разделы

:: правила

:: новости

:: участники

:: доска почёта

:: форум

:: блоги

:: поиск

:: статистика

:: наш журнал

:: наши встречи

:: наша галерея

:: отзывы о нас

:: поддержка

:: руководство

Версия системы:
7.41 (25.02.2017)

Общие новости:
23.02.2017, 09:51

Форум:
20.11.2017, 20:05

Последний вопрос:
21.11.2017, 18:13

Последний ответ:
21.11.2017, 18:19

Последняя рассылка:
21.11.2017, 06:45

Писем в очереди:
0

Мы в соцсетях:

Наша кнопка:

RFpro.ru - здесь вам помогут!

Отзывы о нас:
15.08.2017, 16:52 »
solest
Благодарю Вас за ответ и ссылки! [вопрос № 191278, ответ № 275196]
02.03.2010, 12:04 »
Кэр Лаэда
мдя.. все гениальное просто.... [вопрос № 176996, ответ № 259831]
28.01.2010, 11:56 »
Eliz08
Большое Вам спасибо! С уважением, Владимир. [вопрос № 176346, ответ № 259011]

РАЗДЕЛ • Исследование операций

Консультации и решение задач по исследованию операций, линейному, динамическому программированию, теории игр и сетевому планированию.

[администратор рассылки: Коцюрбенко Алексей aka Жерар (Мастер-Эксперт)]

Лучшие эксперты в этом разделе

Коцюрбенко Алексей aka Жерар
Статус: Мастер-Эксперт
Рейтинг: 296
Лысков Игорь Витальевич
Статус: Старший модератор
Рейтинг: 169
solowey
Статус: 8-й класс
Рейтинг: 144

Перейти к консультации №:
 

Консультация онлайн # 185544
Автор вопроса: Посетитель - 356695
Отправлена: 04.03.2012, 22:55
Поступило ответов: 1

Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе:

Найти все экстремали функционала J(y), удовлетворяющие указанным граничным условиям:


задание в файле http://rfpro.ru/upload/7663

Состояние: Консультация закрыта

Ответ # 270133 от Орловский Дмитрий (Мастер-Эксперт)

Здравствуйте, Посетитель - 356695!
1) Имеем простейший функционал ∫01F(x,y,y')dx, где F(x,y,y')=y'2+y2+xy
Составляем уравнение Эйлера Fy-d/dx[Fy']=0, получаем
(2y+x)-d/dx[2y']=0, 2y+x-2y''=0,
2y''-2y=x (линейное уравнение с постоянными коэффициентами)
а) Решем однородное уравнение. Составляем характеристическое уравнение 2λ2-2=0,
оно имеет корни λ=±1. Общее решение однородного уравнения y=C1ex+C2e-x
б) Находим частное решение неоднородного уравнения, его правая часть имеет специальный виид f(x)=x,
поэтому частное решение ищем в виде y=Ax. Подставляя это в уравнение, находим 0-2Ax=x ---> A=-1/2 ---> y=-x/2

Таким образом, все экстремали (общее решение уравнения Эйлера) имеют вид
y=C1ex+C2e-x-x/2

Далее используем граничные условия y(0)=0, y(1)=0, получаем
y(0)=C1+C2
y(1)=C1e+C2/e-1/2
Это дает систему
C1+C2=0
C1e+C2/e-1/2=0
Решая систему, находим
C1=e/[2(e2-1)]
C2=-e/[2(e2-1)]

Ответ:
y=(e/[2(e2-1)])ex-(e/[2(e2-1)])e-x-x/2

2)F(x,y,y')=2y-x2y'2
Составляем уравнение Эйлера Fy-d/dx[Fy']=0, получаем
2-d/dx[2x2y]=0
2-4xy'-2x2y''=0
x2y''+2xy'=1 (это уравнение тоже называется уравнение Эйлера)
Подставляя y=xλ, получаем характеристическое уравнение
λ2+λ=0 ---> λ=0, λ=-1
Общее решение однородного уравнения y=C1+C2/x
Частное решение ищем в виде y=Aln x, подставляя в уравнение, получаем
-A+2A=1 ---> A=1 ---> y=ln x
Общее решение (экстремали):
y=C1+C2/x+ln x

Далее используем граничные условия y(1)=e, y(e)=0, получаем
y(1)=C1+C2=0
y(e)=C1+C2/e+1=0
Решая систему, находим
C1=-2e/(e-1)
C2=e(e+1)/(e-1)

Ответ:
y=-2e/(e-1)+(e(e+1)/[x(e-1)])+ln x

3) F(x,y,y')=y'2+yy'+12xy
Составляем уравнение Эйлера Fy-d/dx[Fy']=0, получаем
(y'+12x)-d/dx[2y'+y]=0
y'+12x-2y''-y'=0
y''=6x
Дважды интегрируя, находим
y'=3x2+C1
y=x3+C1x+C2

Из граничных условий находим
y(0)=C2=0
y(1)=1+C1+C2=0
Решая систему, получаем
C1=-1
C2=0

Ответ:
y=x3-x


Консультировал: Орловский Дмитрий (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 04.03.2012, 23:52

5
нет комментария
-----
Дата оценки: 05.03.2012, 19:53

Рейтинг ответа:

0

[подробно]

Сообщение
модераторам

Отправлять сообщения
модераторам могут
только участники портала.
ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
регистрация »

Мини-форум консультации № 185544

Посетитель

ID: 356695

# 1

= общий = | 05.03.2012, 16:34 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Орловский Дмитрий:

Добрый день...спасибо большое а там три примера было... остальные два будет решение ?

Орловский Дмитрий
Мастер-Эксперт

ID: 319965

# 2

= общий = | 05.03.2012, 19:09 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер

© Цитата:
остальные два будет решение ?

Ждите ответа...

 

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.

Яндекс Rambler's Top100

главная страница | поддержка | задать вопрос

Время генерирования страницы: 0.15889 сек.

© 2001-2017, Портал RFPRO.RU, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
Калашников О.А.  |  Гладенюк А.Г.
Версия системы: 7.41 от 25.02.2017
Бесплатные консультации онлайн