Здравствуйте, bestwick!

Имеем f(z) = z/(z² - 4)² = z/((z - 2)²(z + 2)²). Сделаем замену переменного w = z - 2, т. е. z = w + 2. Тогда
f(z) = z/((z - 2)²(z + 2)²) = (w + 2)/(w²(w + 4)²) = g(w).

Разложим полученную дробь в сумму простейших:
(w + 2)/(w²(w + 4)²) = A/w + B/w² + C/(w + 4) + D/(w + 4)² = (Aw(w + 4)² + B(w + 4)² + Cw²(w + 4) + Dw²)/(w²(w + 4)²),
откуда
w + 2 = Aw(w + 4)² + B(w + 4)² + Cw²(w + 4) + Dw².

При w = 0 имеем 2 = 16B, откуда B = 2/16 = 1/8.
При w = -4 имеем -2 = 16D, откуда D = -2/16 = -1/8.
При w = -1 имеем 1 = -9A + 9/8 + 3C - 1/8, 1 - 9/8 + 1/8 = -9A + 3C, 0 = -9A + 3C, 0 = -3A + C.
При w = -2 имеем 0 = -8A + 1/2 + 8C - 1/2, 0 = -8A + 8C, 0 = -A + C.

Решаем систему уравнений
-3A + C = 0,
-A + C = 0.
Из первого уравнения получаем C = 3A и подставляем во второе уравнение:
-A + 3A = 0, 2A = 0, A = 0, C = 0.

Итак, g(w) = (w + 2)/(w²(w + 4)²) = 1/(8w²) - 1/(8(w + 4)²).

Функция g(w) имеет особые точки w = 0 и w = -4. Следовательно, она аналитична в кольцах V₁ = {0 < |w| < 4} и V₂ = {4 < |w| < [$8734$]}. Найдём лорановские разложения в каждом из этих колец. Воспользуемся формулой
(1 [$177$] x)^m = 1 [$177$] mx + m(m - 1)x²/2! [$177$] m(m - 1)(m - 2)x³/3! + ... (|x| [$8804$] 1). (1)

Имеем
1/(w + 4) = 1/(4(1 + w/4)),
1/(w + 4)² = 1/(16(1 + w/4)²) = 1/16 [$183$] (1 + w/4)^-2 = (1/16)(1 - 2w/4 - 2(-2 - 1)(w/4)²/2! - 2(-2 - 1)(-2 - 2)(w/4)³/3! - ... =
= (1/16)(1 - w/2 + 3w²/16 - w³/16 + ...).

Значит, в кольце V₁ = {0 < |w| < 4}
g(w) = 1/(8w²) - (1/128)((1 - w/2 + 3w²/16 - w³/16 + ...).

При |w| > 4 полученный ряд расходится. Поэтому для разложения функции g(w) в кольце V₂ выполним следующие преобразования:
1/(w + 4) = 1/(w(1 + 4/w)),
1/(w + 4)² = 1/(w²(1 + 4/w)²) = (1/w²)(1/(1 + 4/w)²).

Согласно формуле (1),
1/(1 + 4/w)² = (1 + 4/w)^-2 = 1 - 2(4/w) - 2(-2 - 1)(4/w)²/2! - 2(-2 - 1)(-2 - 2)(4/w)³/3! - ... =
= 1/w² - 8/w³ + 48/w⁴ - 256/w⁵ + ... .

Значит, в кольце V₂ = {4 < |w| < [$8734$]}
g(w) = 1/(8w²) - (1/8)(1/w² - 8/w³ + 48/w⁴ - 256/w⁵ + ... ).

Возвращаясь к переменной z, подставим в полученные разложения вместо w выражение z - 2. Искомыми разложениями функции f(z) будут
1) при 0 < |z - 2| < 4
f(z) = 1/(8(z - 2)²) - (1/128)((1 - (z - 2)/2 + 3(z - 2)²/16 - (z - 2)³/16 + ...);
2) при 4 < |z - 2| < [$8734$]
f(z) = 1/(8(z - 2)²) - (1/8)(1/(z - 2)² - 8/(z - 2)³ + 48/(z - 2)⁴ - 256/(z - 3)⁵ + ... ).

С уважением.