Здравствуйте, Влад Алексеев!





При вычислении второго интеграла использован метод интегрирования частями:

Здравствуйте, Влад Алексеев!

Найти неопределённые интегралы. Результат проверить дифференцированием:
а) [$8747$](cos x)dx/([sup]5[/sup][$8730$](sin[sup]2[/sup] x); б) [$8747$](ln x)dx/(2[$8730$]x).

Рассмотрим первый интеграл. Положим u = sin x. Тогда (cos x)dx = du, 1/⁵[$8730$](sin² x) = u^-2/5, поэтому
[$8747$](cos x)dx/(⁵[$8730$](sin² x) = [$8747$]u^-2/5du = u^{-2/5 + 1}/(-2/5 + 1) + C = u^3/5/(3/5) + C = 5⁵[$8730$](sin³ x)/3 + C.

Проверим полученный результат дифференцированием:
((5/3)⁵[$8730$](sin³ x)/3 + C)' = (5 [$183$] (sin x)^3/5 + C)' = 5/3 [$149$] 3/5 [$183$] (sin x)^{3/5 - 1} [$183$] cos x = (sin x)^-2/5 [$183$] cos x = (cos x)/(⁵[$8730$](sin² x),
как и должно быть.

Рассмотрим второй интеграл. Имеем dx/(2[$8730$]x) = d([$8730$]x) = dv. Обозначим u = ln x (тогда du = dx/x) и применим интегрирование по частям:
[$8747$](ln x)dx/(2[$8730$]x) = [$8730$]x [$183$] ln x - [$8747$][$8730$]xdx/x = [$8730$]x [$183$] ln x - [$8747$]dx/[$8730$]x = [$8730$]x [$183$] ln x - 2[$8730$]x + C.

Проверим полученный результат дифференцированием:
([$8730$]x [$183$] ln x - 2[$8730$]x + C)' = (x^1/2ln x - 2x^1/2 + C)' = (1/2)x^-1/2ln x + x^1/2x^-1 - x^-1/2 = (ln x)/(2[$8730$]x) + x^-1/2 - x^-1/2 = (ln x)/(2[$8730$]x),
как и должно быть.

С уважением.

Здравствуйте, Влад Алексеев!
Решение б)
Интегрируем по частям:
[$8747$](ln x/(2[$8730$]x))dx=[$8747$]ln xd([$8730$]x)=[$8730$]x*ln x-[$8747$]dx/[$8730$]x=[$8730$]x*ln x-2[$8730$]x+C
Проверка:
([$8730$]x*ln x-2[$8730$]x+C)'=(1/(2[$8730$]x))ln x+([$8730$]x/x)-2/(2[$8730$]x)=ln x/(2[$8730$]x)