20.05.2019, 23:02 [+3 UTC]
в нашей команде: 3 624 чел. | участники онлайн: 4 (рекорд: 21)

:: РЕГИСТРАЦИЯ

задать вопрос

все разделы

правила

новости

участники

доска почёта

форум

блоги

поиск

статистика

наш журнал

наши встречи

наша галерея

отзывы о нас

поддержка

руководство

Версия системы:
7.75 (18.05.2019)
JS-v.1.33 | CSS-v.3.35

Общие новости:
28.04.2019, 09:13

Форум:
16.05.2019, 21:07

Последний вопрос:
20.05.2019, 22:21
Всего: 149654

Последний ответ:
20.05.2019, 18:18
Всего: 258494

Последняя рассылка:
20.05.2019, 20:15

Писем в очереди:
0

Мы в соцсетях:

Наша кнопка:

RFpro.ru - здесь вам помогут!

Отзывы о нас:
09.10.2009, 10:32 »
Анна Зорина
Спасибо огромное за помощь и доброе отношение! [вопрос № 173081, ответ № 255193]
09.02.2017, 16:14 »
r45kostik
Огромное спасибо! Не мог найти схему. Клиент доволен! smile [вопрос № 190384, ответ № 274547]

РАЗДЕЛ • Математика

Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

[администратор рассылки: Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор)]

Лучшие эксперты в этом разделе

Гордиенко Андрей Владимирович
Статус: Советник
Рейтинг: 7441
kovalenina
Статус: Студент
Рейтинг: 2826
Михаил Александров
Статус: Профессионал
Рейтинг: 975

Перейти к консультации №:
 

Консультация онлайн # 184406
Раздел: • Математика
Автор вопроса: Олег
Отправлена: 08.11.2011, 14:27
Поступило ответов: 2

Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе:

Линейный оператор А в пространстве V3 геометрических векторов определяется действием отображения а на концы радиус-векторов точек трехмерного пространства.
1) Найти матрицу линейного оператора А в подходящем базисе пространства V3, а затем в каноническом базисе i,j,k.
2) В какую точку трехмерного пространства переходит точка с координатами (1:0;0) под действием отображения a.

a) Отражение относительно плоскости x+y+z=0
б) Поворот на 180 градусов вокруг оси x=y=z
в) Проектирование на ось x=y/2=z
г) Проектирование на плоскость x+y+z=0.

Состояние: Консультация закрыта

Здравствуйте, Олег!

В качестве подходящего базиса выберем два неколлинеарных вектора, лежащих в плоскости x+y+z=0 - (-1, 0, 1), (0, -1, 1), и вектор нормали к этой плоскости - (1, 1, 1). Очевидно, что в этом базисе данная плоскость является координатной, поэтому при отражении любой точки относительно неё первые две координаты точки в выбранном базисе не меняются, а третья меняет знак. Следовательно, в этом базисе оператор A имеет матрицу



Матрица P перехода от канонического базиса i, j, k к выбранному нами подходящему будет иметь вид



Матрица оператора A в каноническом базисе i, j, k будет равна


Соответственно, точка с координатами в каноническом базисе (1, 0, 0), перейдёт под действием отображения a в точку


Консультировал: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Модератор)
Дата отправки: 08.11.2011, 18:25

5
Спасибо
-----
Дата оценки: 09.11.2011, 16:20

Рейтинг ответа:

0

[подробно]

Сообщение
модераторам

Отправлять сообщения
модераторам могут
только участники портала.
ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
регистрация »

Здравствуйте, Олег!

Рассмотрим задание б. Из уравнения x = y = z прямой, заданной в каноническом виде, следует, что эта прямая проходит через начало координат, а её направляющим вектором является n = (1; 1; 1) = 1i + 1j + 1k. Если принять эту прямую за координатную в подходящей системе координат, то в этой координата любой точки вдоль этой оси не изменится, а две другие координаты поменяют свой знак.

Нетрудно видеть, что направляющий вектор прямой одновременно является нормальным вектором плоскости x + y + z = 0, рассмотренной при решении задания а. Взяв, например, векторы l = (-1; 0; 1) и m = (0; -1; 1) за базисные, установим, что в базисе {l, m, n} оператор A задаётся матрицей

а переход от канонического базиса к "подходящему" - матрицей


Найдём матрицу оператора A в каноническом базисе {i, j, k}:


Значит, под действием заданного поворота точка (1; 0; 0) перейдёт в точку

-------------------------

Рассмотрим задание в. Направляющим вектором оси x = y/2 = z является n = (1; 2; 1). Он же является нормальным вектором плоскости π: x + 2y + z = 0, проходящей через начало координат. Примем этот вектор за один из базисных в "подходящем" базисе, а в качестве двух других примем векторы, расположенные в плоскости π, например, l = (-1; 0; 1) и m = (0; -1; 2). При проецировании любой точки на заданную ось в этом базисе её координата вдоль данной оси не изменится, а две другие станут равными нулю.

Поэтому оператор A можно задать матрицей

а переход от канонического базиса к "подходящему" - матрицей


Найдём матрицу оператора A в каноническом базисе {i, j, k}:


Значит, под действием заданного отображения точка (1; 0; 0) перейдёт в точку

-------------------------

Рассмотрим задание г. Примем тот же "подходящий" базис, что и при решении задания б. В результате проецирования точки на ставшую координатной плоскость x + y + z = 0 две координаты точки не изменятся, а третья станет равной нулю. Тогда




Значит, под действием заданного преобразования точка (1; 0; 0) перейдёт в точку


Понятно, что выполнить матричные вычисления вручную было бы слишком тяжёлым испытанием, поэтому прилагаю соответствующую электронную таблицу, которую Вы можете загрузить, воспользовавшись этой ссылкой.

С уважением.


Консультировал: Гордиенко Андрей Владимирович (Советник)
Дата отправки: 08.11.2011, 20:18

5
Спасибо!
-----
Дата оценки: 09.11.2011, 16:20

Рейтинг ответа:

0

[подробно]

Сообщение
модераторам

Отправлять сообщения
модераторам могут
только участники портала.
ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
регистрация »

Мини-форум консультации № 184406
Орловский Дмитрий
Мастер-Эксперт

ID: 319965

# 1

= общий = | 08.11.2011, 15:01 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер

© Цитата:
Найти матрицу линейного оператора А в подходящем базисе пространства

"подходящий базис" - это что такое?

Олег

# 2

= общий = | 08.11.2011, 15:07

Не понятно. Задание именно так звучит.

Орловский Дмитрий
Мастер-Эксперт

ID: 319965

# 3

= общий = | 08.11.2011, 15:10 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер

Поставим вопрос по-другому:
Канонический базис можно считать подходящим?

Олег

# 4

= общий = | 08.11.2011, 15:22
Орловский Дмитрий:

Если потом звучит фраза

"а затем в каноническом базисе i,j,k"

значит нельзя считать.

Олег

# 5

= общий = | 08.11.2011, 15:28
Орловский Дмитрий:

Я смотрел подобный пример

http://eek.diary.ru/p154525658.htm.

Но все равно ничего не понял. Там задание тоже формулируется насчет подходящего базиса.

Коцюрбенко Алексей Владимирович
Модератор

ID: 312929

# 6

= общий = | 08.11.2011, 17:36 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер

Судя по всему, подходящим считается базис, в котором матрица линейного оператора А является диагональной (или, возможно, максимально близкой к этому). Соответственно, канонический базис будет подходящим только при отражении относительно координатной плоскости или повороте вокруг оси координат. У нас же совсем другой случай.

-----
Последнее редактирование 08.11.2011, 18:29 Коцюрбенко Алексей Владимирович (Модератор)

Олег

# 7

= общий = | 08.11.2011, 18:39
Коцюрбенко Алексей Владимирович:

Большое спасибо за решение первого задания. А остальные вы можете решить сегодня, а то мне завтра с утра уже сдавать?

Орловский Дмитрий
Мастер-Эксперт

ID: 319965

# 8

= общий = | 08.11.2011, 22:37 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер

Два предыдущих ответа даны с ошибками, главная из которых состоит в том, что матрица оператора преобразуется по формуле P^(-1)AP, а не по формуле PAP^(-1).

Орловский Дмитрий
Мастер-Эксперт

ID: 319965

# 9

= общий = | 09.11.2011, 09:43 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Гордиенко Андрей Владимирович:

Вы прочитали все с точностью до наоборот. Там написано то, что говорил я: матрица перехода от старого базиса к новому образована координатами векторов нового базиса в старом.

Из чего состоит матрица P? Из координат вкеторов l,m,n в базисе i,j,k. Следовательно, P есть матрица перехода от базиса i,j,k к базису l,m,n.

Поэтому правильный ответ в приведенных решениях получается в результате компенсации двух грубых ошибок.

-----
Последнее редактирование 09.11.2011, 09:46 Орловский Дмитрий (Мастер-Эксперт)

Гордиенко Андрей Владимирович
Советник

ID: 17387

# 10

= общий = | 09.11.2011, 10:15 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Орловский Дмитрий:

Дмитрий Германович!

Не раздражайтесь, пожалуйста.

В моём решении написано:

© Цитата:
... а переход к каноническому базису - матрицей (см., например, здесь) P = ...

Поэтому, похоже, одной ошибки всё-таки нет.

После Вашего сообщения Олегу
© Цитата:
Два предыдущих ответа даны с ошибками, главная из которых состоит в том, что матрица оператора преобразуется по формуле P^(-1)AP, а не по формуле PAP^(-1).

было написано мне:
© Цитата:
Вообще то я сам запутался.
P - это не матрица перехода к каноническому базису, а наоборот - от канонического базиса к подходящему. Поэтому формула PAP^(-1) справедлива, исправить нужно только арифметические ошибки.

Тогда какую ещё ошибку мне надо найти у себя? Кстати, а какой формулой Вы пользовались в своём решении? На сегодняшнюю ночь это была не формула PAP^(-1), которая по-Вашему же оказалась правильной.

Давайте всё-таки разберёмся. Матрица A линейного оператора в "подходящем" базисе записана, вроде бы, правильно. Если матрица P перехода в окончательном варианте ответа названа мной неправильно, то она является матрицей, транспонированной по отношению к матрице перехода от канонического базиса к "подходящему". И из этого вытекает, что ... Если не трудно, продолжите, пожалуйста: Вы же сами заметили, что формула PAP^(-1) справедлива. smile Мне, честно говоря, становится не по силам разобраться, откуда Вы усматриваете "компенсацию двух грубых ошибок". Единственное, что я твёрдо понимаю: мы ищем координаты образа точки в каноническом базисе.

С уважением.

-----
Последнее редактирование 09.11.2011, 10:36 Гордиенко Андрей Владимирович (Советник)

=====
Facta loquuntur.

Орловский Дмитрий
Мастер-Эксперт

ID: 319965

# 11

= общий = | 09.11.2011, 10:40 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Гордиенко Андрей Владимирович:

Я ошибочно поверил Коцюрбенко, который написал, что P - матрица перехода к базису i,j,k. Поэтому формула PAP-1 является ошибочной и как думал исправил ошибку, вычислив в своем ответе P-1AP.
Однако, у Коцюрбенко оказалась еще одна ошибка: P - это не матрица перехода к базису i,j,k, а обратная. Поэтом матрица перехода T=P-1 и надо было вычислить
T-1AT= PAP-1
Поэтому я и удалил свой ответ. Вычислять надо PAP-1, но у Коцюрбенко это получается в результате двойной ошибки.

-----
Последнее редактирование 09.11.2011, 10:41 Орловский Дмитрий (Мастер-Эксперт)

Гордиенко Андрей Владимирович
Советник

ID: 17387

# 12

= общий = | 09.11.2011, 11:17 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Орловский Дмитрий:


Ясно. Постараюсь исправить, переделав свои решения.

=====
Facta loquuntur.

Гордиенко Андрей Владимирович
Советник

ID: 17387

# 13

= общий = | 09.11.2011, 11:20 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер


Олег!

Если время есть, то я постараюсь до конца рабочего дня привести правильные решения, по крайней мере, заданий б, в, г. Вы, проследив за нашей с Орловским перепиской, поймёте, в чём суть допущенных ошибок. Вместо нужной матрицы перехода была взята транспонированная.

=====
Facta loquuntur.

Олег

# 14

= общий = | 09.11.2011, 12:11
Гордиенко Андрей Владимирович:

Очень прошу исправить как можно быстрее. Мне сдавать надо... Т.е. я правильно вас понял, что во всех этих ответах надо брать ту же матрицу Р, только ее транспонировать?

И как быть с задачей номер 1? Я не понял, она решена правильно или нет?

А то я уже все переписал в тетрадь.

=====
Facta loquuntur.

Гордиенко Андрей Владимирович
Советник

ID: 17387

# 15

= общий = | 09.11.2011, 12:22 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер

Чтобы не "кромсать" предложенные мной решения трёх заданий, считаю нужным добавить следующее.

Согласно теореме о зависимости между матрицами оператора в различных базисах, если
A - матрица оператора в "подходящем" базисе,
Т - матрица перехода от "подходящего" базиса к каноническому,
то B = T-1AT - матрица оператора в каноническом базисе.

Поскольку матрица T-1, обратная матрице Т, является матрицей перехода от канонического базиса к "подходящему", то обозначив Т = Р-1, получим Т-1 = Р, и В = РАР-1, чем мы и воспользовались.

Это внесло некоторую путаницу, но не явилось причиной ошибок.

Что касается решения первого задания, то нужно лишь изменить название матрицы Р.

Вроде бы так... smile smile smile .

-----
Последнее редактирование 09.11.2011, 13:03 Гордиенко Андрей Владимирович (Советник)

=====
Facta loquuntur.

Олег

# 16

= общий = | 09.11.2011, 12:29
Гордиенко Андрей Владимирович:

Т.е. первое задание решено правильно. А как тогда назвать матрицу P?

=====
Facta loquuntur.

Гордиенко Андрей Владимирович
Советник

ID: 17387

# 17

= общий = | 09.11.2011, 12:44 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер

Назовите так же, как и я в своих решениях.

Думаю, если Вы поделитесь с преподавателем информацией о проблемах, которые возникли у Вас при решении задачи, он не станет оценивать работу неудовлетворительно.

-----
Последнее редактирование 09.11.2011, 13:03 Гордиенко Андрей Владимирович (Советник)

=====
Facta loquuntur.

Орловский Дмитрий
Мастер-Эксперт

ID: 319965

# 18

= общий = | 09.11.2011, 12:49 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер

© Цитата:
первое задание решено правильно

Нельзя назвать правильным решение, сделанное по неправильным формулам.

© Цитата:
как тогда назвать матрицу P?

Матрица P - это матрица перехода от базиса i,j,k к базису l,m,n.

Правильное решение должно выглядеть так как сказал Гордиенко:
© Цитата:
1) Применяем формулу T-1AT
2) Матрица перехода от базиса l,m,n к базису i,j,k имеет вид T=P-1
поэтому искомая матрица равна PAP-1

-----
Последнее редактирование 09.11.2011, 12:50 Орловский Дмитрий (Мастер-Эксперт)

Олег

# 19

= общий = | 09.11.2011, 12:50
Гордиенко Андрей Владимирович:

Спасибо. А вы не могли бы посмотреть еще вопрос 188405? Нужно решить последние три задания.

Олег

# 20

= общий = | 09.11.2011, 12:52
Орловский Дмитрий:

Дмитрий, спасибо за комментарии.

Гордиенко Андрей Владимирович
Советник

ID: 17387

# 21

= общий = | 09.11.2011, 13:13 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер


Я уже "перегрелся" от решения этой, более наглядной задачи. Нужно отдохнуть. Поэтому "посмотреть" на вопрос № 188405 смогу или сегодня вечером, или только завтра. И это без гарантии. Вряд ли Вас это устроит.

К тому же в моей рассылке "Теоретическая и прикладная механика" уже есть два вопроса без ответов. В первую очередь я должен разобраться с ними.

А что, Дмитрий Германович Орловский не стал решать остальные варианты?

=====
Facta loquuntur.

Гордиенко Андрей Владимирович
Советник

ID: 17387

# 22

= общий = | 09.11.2011, 13:17 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Коцюрбенко Алексей Владимирович:

Здравствуйте, Алексей!

Обратите, пожалуйста, внимание на то, что матрица P, будучи симметричной относительно своей главной диагонали, всё же в контексте используемой Вами формулы должна быть названа по-другому, по-моему.

С уважением.

-----
Последнее редактирование 09.11.2011, 13:25 Гордиенко Андрей Владимирович (Советник)

=====
Facta loquuntur.

Коцюрбенко Алексей Владимирович
Модератор

ID: 312929

# 23

= общий = | 09.11.2011, 15:59 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Гордиенко Андрей Владимирович:

Исправил ответ к первому заданию, теперь вроде бы всё названо правильно.

Гордиенко Андрей Владимирович
Советник

ID: 17387

# 24

= общий = | 09.11.2011, 16:17 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Коцюрбенко Алексей Владимирович:


Будем надеяться, что автор вопроса не окажется в большой претензии к нам.

=====
Facta loquuntur.

Олег

# 25

= общий = | 09.11.2011, 16:19

Нет, никаких претензий нет. Спасибо всем большое!

=====
Facta loquuntur.

Гордиенко Андрей Владимирович
Советник

ID: 17387

# 26

= общий = | 09.11.2011, 16:23 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер

Тогда и Вам спасибо за доставленную возможность вспомнить студенческие годы, когда словосочетание "линейный оператор" вызывало ассоциации с терминатором. Сейчас - разве, что со старым аллигатором. Мне больше по душе название "линейное преобразование"...

Итак, smile smile smile

-----
Последнее редактирование 09.11.2011, 16:24 Гордиенко Андрей Владимирович (Советник)

=====
Facta loquuntur.

Олег

# 27

= общий = | 09.11.2011, 16:27
Гордиенко Андрей Владимирович:

Все бы хорошо, да только вот 184405 последнее задание до сих пор не решено...

=====
Facta loquuntur.

Гордиенко Андрей Владимирович
Советник

ID: 17387

# 28

= общий = | 09.11.2011, 17:33 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер

Я сочувствую Вам, но сильно занят: нужно подготовиться к лекциям, которые придётся читать взамен заболевших преподавателей. Попытайтесь, имея в своём распоряжении решения предыдущих заданий, решить хотя бы одно сами. Иначе никакого смысла в изучении Вами линейной алгебры нет.

-----
Последнее редактирование 09.11.2011, 17:34 Гордиенко Андрей Владимирович (Советник)

=====
Facta loquuntur.

Олег

# 29

= общий = | 10.11.2011, 14:01
Гордиенко Андрей Владимирович:

Андрей Владимирович, добрый день!

Вчера Вы мне писали, что сможете посмотреть консультацию 184405 завтра, т.е. сегодня. До сих пор седьмое задание без решения. Я увеличил стоимость консультации. Дмитрий Орловский не отвечает... Если это возможно, посмотрите Вы...

=====
Facta loquuntur.

Гордиенко Андрей Владимирович
Советник

ID: 17387

# 30

= общий = | 10.11.2011, 16:43 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер


Олег!

Мне понятны Ваши проблемы, но я вынужден заняться решением своих. Завтра мне придётся (больше некому) читать лекцию по напряжённому состоянию в зоне стружкообразования вместо выбывшего профессора. Всё бы ничего, но материал предшествующих лекций подан с незнакомых мне позиций, для уяснения которых я вынужден потратить уйму времени, чтобы более-менее доходчиво объяснить тему лекции студентам. Поэтому свободным временем в достаточной мере, чтобы помочь Вам, сейчас не располагаю. Это во-первых.

Во-вторых, как указал сам Дмитрий Германович (профессор математики, кстати) в мини-форуме проблемной для Вас задачи, её решение для последних пунктов составляет известные трудности. Но неужели я буду испытывать меньшие трудности? Поэтому, кстати, я никак не участвовал в консультировании по этой задаче, несмотря на привлекательную её стоимость.

В-третьих, какой бы ни была заявленная Вами стоимость вопроса, он может остаться и без ответа в силу ряда причин.

В-четвёртых, судя по тематике решаемых Вами по линейной алгебре задач, Вы получаете углублённое по сравнению с обычными инженерными специальностями образование по высшей математике. Чего же оно будет стоить, если имея в своём распоряжении несколько решений подобных примеров, Вы не в состоянии решить один?

Вы можете, если считаете нужным, обратиться к Дмитрию Германовичу по пейджеру (личной почте) портала. Возможно, сейчас он занят тоже и не может Вам помочь.

Если Вы желаете вернуть стоимость вопроса к первоначальной, обратитесь к администратору рассылки Игорю Витальевичу Лыскову.

С уважением.

=====
Facta loquuntur.

 

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.

Яндекс Rambler's Top100

главная страница | поддержка | задать вопрос

Время генерирования страницы: 0.16013 сек.

© 2001-2019, Портал RFPRO.RU, Россия
Калашников О.А.  |  Гладенюк А.Г.
Версия системы: 7.75 от 18.05.2019
Версия JS: 1.33 | Версия CSS: 3.35