Здравствуйте, Олег!

В качестве подходящего базиса выберем два неколлинеарных вектора, лежащих в плоскости x+y+z=0 - (-1, 0, 1), (0, -1, 1), и вектор нормали к этой плоскости - (1, 1, 1). Очевидно, что в этом базисе данная плоскость является координатной, поэтому при отражении любой точки относительно неё первые две координаты точки в выбранном базисе не меняются, а третья меняет знак. Следовательно, в этом базисе оператор A имеет матрицу



Матрица P перехода от канонического базиса i, j, k к выбранному нами подходящему будет иметь вид



Матрица оператора A в каноническом базисе i, j, k будет равна


Соответственно, точка с координатами в каноническом базисе (1, 0, 0), перейдёт под действием отображения a в точку

Здравствуйте, Олег!

Рассмотрим задание б. Из уравнения x = y = z прямой, заданной в каноническом виде, следует, что эта прямая проходит через начало координат, а её направляющим вектором является n = (1; 1; 1) = 1i + 1j + 1k. Если принять эту прямую за координатную в подходящей системе координат, то в этой координата любой точки вдоль этой оси не изменится, а две другие координаты поменяют свой знак.

Нетрудно видеть, что направляющий вектор прямой одновременно является нормальным вектором плоскости x + y + z = 0, рассмотренной при решении задания а. Взяв, например, векторы l = (-1; 0; 1) и m = (0; -1; 1) за базисные, установим, что в базисе {l, m, n} оператор A задаётся матрицей

а переход от канонического базиса к "подходящему" - матрицей


Найдём матрицу оператора A в каноническом базисе {i, j, k}:


Значит, под действием заданного поворота точка (1; 0; 0) перейдёт в точку

-------------------------

Рассмотрим задание в. Направляющим вектором оси x = y/2 = z является n = (1; 2; 1). Он же является нормальным вектором плоскости [$960$]: x + 2y + z = 0, проходящей через начало координат. Примем этот вектор за один из базисных в "подходящем" базисе, а в качестве двух других примем векторы, расположенные в плоскости [$960$], например, l = (-1; 0; 1) и m = (0; -1; 2). При проецировании любой точки на заданную ось в этом базисе её координата вдоль данной оси не изменится, а две другие станут равными нулю.

Поэтому оператор A можно задать матрицей

а переход от канонического базиса к "подходящему" - матрицей


Найдём матрицу оператора A в каноническом базисе {i, j, k}:


Значит, под действием заданного отображения точка (1; 0; 0) перейдёт в точку

-------------------------

Рассмотрим задание г. Примем тот же "подходящий" базис, что и при решении задания б. В результате проецирования точки на ставшую координатной плоскость x + y + z = 0 две координаты точки не изменятся, а третья станет равной нулю. Тогда




Значит, под действием заданного преобразования точка (1; 0; 0) перейдёт в точку


Понятно, что выполнить матричные вычисления вручную было бы слишком тяжёлым испытанием, поэтому прилагаю соответствующую электронную таблицу, которую Вы можете загрузить, воспользовавшись этой ссылкой.

С уважением.